Matriks Hesse

Dalam matematika, Matriks Hesse atau Hesse adalah matriks persegi dari turunan parsial orde kedua dengan fungsi bernilai skalar, atau medan skalar. Matriks ini mendeskripsikan kelengkungan lokal dari fungsi banyak peubah. Matriks Hesse dikembangkan pada abad ke-19 oleh matematikawan berkebangsaan Jerman, Ludwig Otto Hesse, dan kemudian dinamai dengan namanya. Hesse semula menggunakan istilah "determinan fungsional".

Definisi dan sifat

Misal $f : ℝ n \to ℝ$ adalah fungsi yang mengambil masukan sebuah vektor $x \in ℝ n$ dan menghasilkan skalar $f (x) \in ℝ$ ; jika semua turunan parsial kedua $f$ ada dan kontinu di dalam domain fungsi, maka matriks Hesse $H$ dari $f$ merupakan matriks persegi $n \times n$ , biasanya didefinisikan dan disusun sebagai berikut:

\mathbf {H} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}.

atau, dengan menyatakan sebuah persamaan untuk koefisien menggunakan indeks i dan j:

\mathbf {H} _{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.

Determinan matriks di atas juga terkadang mengacu pada Hesse.^[1]

Matriks Hesse berkaitan dengan matriks Jacob melalui $H (f (x)) = J (\nabla f (x)) T$ .

Turunan parsial campuran f merupakan penyusun diagonal utama pada Hesse. Dengan mengasumsikan bahwa f kontinu pada lingkungan titik yang diberikan, urutan diferensiasi tidak berpengaruh (Teorema Schwarz). Sehingga,

{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right).

Dalam pernyataan formal: jika turunan parsial kedua $f$ semua kontinu dalam lingkungan $D$ dari titik yang diberikan, maka Hesse dari $f$ merupakan matriks simetris di seluruh $D$ ; lihat simetri turunan kedua.

Lihat pula

Determinan matriks Hesse merupakan kovarian; lihat Invarian bentuk biner
Identitas polarisasi, berguna untuk menghitung dengan cepat yang melibatkan Hesse.
Matriks Jacob
Persamaan Hesse

Catatan

^ Binmore, Ken; Davies, Joan (2007). Calculus Concepts and Methods. Cambridge University Press. hlm. 190. ISBN 978-0-521-77541-0. OCLC 717598615.

Bacaan lanjutan

Lewis, David W. (1991). Matrix Theory. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0689-5.
de Bondt, Michiel; Essen, Arno van den (2005-01-01). "Hesse and the Jacobian conjecture". Affine Algebraic Geometry: Special Session on Affine Algebraic Geometry at the First Joint AMS-RSME Meeting, Seville, Spain, June 18-21, 2003. Contemporary Mathematics. 369. hlm. 63–76. doi:10.1090/conm/369/06804. ISBN 978-0-8218-3476-3. ISSN 1098-3627.
de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2004). "Singular Hessians". Journal of Algebra. 282 (1): 195–204. doi:10.1016/j.jalgebra.2004.08.026.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Hessian of a function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Hessian". MathWorld.

[1] Binmore, Ken; Davies, Joan (2007). Calculus Concepts and Methods. Cambridge University Press. hlm. 190. ISBN 978-0-521-77541-0. OCLC 717598615.

[1]