Fungsi delta Dirac

Fungsi Delta Dirac adalah nama yang diberikan untuk struktur matematika, dan dimaksudkan mewakili suatu objek titik ideal, seperti massa titik atau muatan titik. Fungsi Delta Dirac memiliki aplikasi yang luas dalam mekanika kuantum dan sisanya dari fisika kuantum. Fungsi ini biasanya digunakan dalam fungsi gelombang kuantum . Fungsi ini diwakili dengan simbol Yunani, dan ditulis dengan huruf kecil, sebagai fungsi: δ ( x ). Fungsi Delta Dirac pertama kali diperkenalkan oleh fisikawan Inggris Paul. A. M. Dirac, untuk mengambarkan suatu keadaan fenomena fisika yang memiliki nilai pada suatu titik (singular pada satu titik), namun nilai pada titik yang lain sama dengan nol. Di samping itu, integral "fungsi" tersebut sepanjang interval domainnya sama dengan satu.

Sejarah

Fungsi delta muncul pada awal abad ke -19, dalam karya-karya Poission (1815), Fourier (1822) dan Cauchy (1823). Selanjutnya O Heaviside (1883)dan G Kirchoff (1891) memberikan definisi matematika pertama dari fungsi delta. Paul. A. M. Dirac (1926), yang memperkenalkan fungsi delta dalam karya klasik dan fundamentalnya, yaitu mekanika kuantum.

Paul. A. M. Dirac mencatat beberapa daftar properti yang berguna dan penting dari fungsi delta. Penggunaan fungsi delta menjadi semakin umum kemudian. Fungsi δ ( x ) dikenal sebagai Fungsi Delta Dirac, karena alasan historis. Saat itu fungsi delta bukan merupakan fungsi x dalam pengertian konvensional, yang membutuhkan fungsi untuk memiliki definit nilai pada setiap titik dalam domainnya. Karenanya δ ( x ) tidak dapat digunakan dalam matematika analisis seperti fungsi biasa. Dalam literatur matematika dikenal sebagai fungsi atau distribusi umum, daripada fungsi yang didefinisikan dalam arti biasa.

Adapun komponen (properti) penting yang harus ada pada fungsi delta antara lain:

• Integral.

Merupakan salah satu properti paling penting dari fungsi delta.

• Memilah properti

Ketika fungsi delta dikalikan dengan fungsi lain, maka semua produk harus menjadi nol, kecuali di lokasi puncak tanpa batas. Di lokasi itu produk tidak terbatas (seperti fungsi delta) harus berupa infinity "lebih besar" atau "lebih kecil". Perumpamaan tersebut masuk akal untuk digunakan, tergantung pada apakah nilai pada saat itu lebih besar atau lebih kecil dari 1. Dengan kata lain, area dari fungsi produk tidak hanya 1 lagi, tetapi itu adalah 1 kali nilai pada puncak yang tak terbatas. Dalam fungsi delta, ini disebut "Sifting Property ".

• Simetri

Beberapa properti lain dapat dengan mudah dilihat dari definisi fungsi delta.

• Sistem linear

Jika sistem fisik memiliki respons linier dan jika responsnya terhadap fungsi delta (Impulsnya diketahui), maka output dari sistem ini dapat ditentukan untuk hampir semua input, tidak masalah betapa rumit prosesnya. Properti yang luar biasa dari sistem linear ini merupakan hasil dari hampir semua fungsi sewenang-wenang yang dapat didekomposisi menjadi (atau "disampel oleh") kombinasi linear dari fungsi delta (dengan syarat masing-masing fungsi tertimbang dengan tepat, dan menghasilkan respons impulsnya sendiri). Jadi, dengan penerapan prinsip superposisi, respons keseluruhan terhadap input sewenang-wenang dapat ditemukan dengan menjumlahkan semua tanggapan impuls nilai-nilai sampel dari fungsi.

Fungsi Delta Dirac juga digunakan untuk mendapatkan notasi yang tepat untuk berurusan dengan jumlah yang melibatkan jenis tak terbatas tertentu. Lebih khusus lagi terkait dengan fakta bahwa fungsi eigen milik nilai eigen dalam kontinum adalah tidak dinormalisasi, atau dengan kata lain, normanya adalah tak terbatas.

Deskripsi

Dalam satu dimensi Fungsi Delta Dirac dituliskan dengan δ ( x − a), merupakan suatu “fungsi” yang secara matematis tidak memenuhi kriteria sebagai sebuah fungsi, karena bernilai tak hingga pada suatu titik. Namun, dalam fisika, Fungsi Delta Dirac merupakan konstruksi yang penting. Jika Fungsi Delta Dirac berbentuk δ ( x ), artinya x = 0 maka fungsi ini bernilai tak hingga pada titik = 0 dan bernilai nol pada titik lainnya. Fungsi Delta Dirac mirip dengan fungsi gaussian dengan area yang sangat sempit dan dengan puncak yang tak hingga.

Fungsi Delta Dirac merupakan fungsi yang luar biasa, karena hanya mempunyai nilai di satu titik, dan nol di tempat lain, dan hasil integralnya = 1. Fungsi ini merupakan fungsi yang benar-benar singular dan memiliki nilai tak hingga di satu titik, dan nol di tempat lain. Integral fungsi delta adalah satu, sedang integral dengan fungsi lain menghasilkan nilai fungsi di tempat tersebut atau bersifat mencuplik fungsi.

Fungsi Delta Dirac seringkali ditemukan pada fenomena - fenomena fisika tetapi maknanya tidak seperti fungsi yang dikenal dalam matematika. Selain itu integral fungsi tersebut sepanjang interval domainnya sama dengan satu. Beberapa masalah yang hendak diselesaikan dengan fungsi Delta Dirac adalah untuk mengetahui bagaiamana bentuk dari fungsi Delta Dirac tersebut, Bentuk transforasi laplace dari fungsi Delta Dirac, Sifat-sifat dari Fungsi Delta Dirac, Konvolusi fungsi Delta Dirac serta Aplikasi fungsi Delta Dirac pada persamaan differensial.

Dalam beberapa fenomena fisika, kita akan berhubungan dengan kejadian yang sifatnya impulsif (hal yang terjadi pada selang waktu yang singkat). Sebagai contoh, saat bola golf dipukul dengan stik, kejutan listrik, tumbukan massa, transfer panas, dan sebagainya. Pada kasus bola golf yang dipukul dengan stik, bola yang dipukul tentunya tidak akan menempel pada alat pemukul untuk jangka waktu yang lama. Misalkan fungsi δ menyatakan besarnya gaya yang diberikan stik terhadap bola dan bekerja pada saat t = t, maka akan diperoleh nilai = untuk t < t maupun t > t. Sedangkan reaksi dari gaya ini dapat dituliskan , setelah dinormalisasi, sebagai: = 1. Nilai pada ruas kanan persamaan tersebut tidak boleh sama dengan nol karena reaksi ini ada yaitu ditunjukan dengan bola golf yang melesat.

Fungsi Delta Dirac juga sangat berguna sebagai perkiraan untuk fungsi lonjakan sempit dan tinggi, seperti suatu impuls. Misalnya, untuk menghitung dinamika bisbol yang terkena bat. Perkiraan kekuatan bat yang digunakan untuk mukul bisbol dapa dihitung dengan fungsi delta. Fungsi delta tidak hanya memungkinkan persamaan untuk disederhanakan, tetapi juga memungkinkan gerakan bisbol dihitung dengan hanya mempertimbangkan impuls total pukulan bat terhadap bola, daripada rincian tentang bagaimana bat mentransfer energi ke bola. Namun, tercatat bahwa Fungsi Delta Dirac tidak sepenuhnya bekerja. Meskipun demikian, Fungsi Delta Dirac dapat dimanipulasi untuk banyak tujuan dan dapat secara resmi didefinisikan sebagai fungsi umum ataupun sebagai distribusi yang juga merupakan ukuran.

Fungsi Definisi

• Definisi sebagai batas

Fungsi Dirac delta dapat dianggap sebagai bentuk persegi panjang yang tumbuh lebih sempit dan sementara secara bersamaan tumbuh lebih besar.

• Definisi sebagai turunan dari fungsi langkah

Fungsi langkah, juga disebut "fungsi langkah Heaviside" biasanya didefinisikan seperti ini:

1. 1H ( x ) = 0 untuk x <0,H
2. ( x ) = 0,5 untuk x = 0H
3. ( x ) = 1 untuk x > 0

• Definisi sebagai transformasi Fourier

Transformasi Fourier dari suatu fungsi memberi Anda frekuensi komponen fungsi. Yang kita dapatkan ketika mengambil transformasi Fourier dari sinus murni atau kosinus berosilasi di gelombang, hanyalah satu komponen frekuensi, jadi transformasi Fourier harus a tunggal, dengan puncak yang sangat besar tepat di Fungsi delta.

• Definisi sebagai kepadatan

Fungsi yang mewakili kepadatan 1 kg titik massa yang terletak diasal, adalah fungsi yang harus nol di mana-mana kecuali pada titik asal. Selain itu, harus tanpa batas besar pada titik asal, karena untuk massa yang benar-benar hanya menempati satu titik, massa per volume adalah tak terbatas.

Yang ada pada daftar dibawah merupakan beberapa properti dari Fungsi Delta Dirac, tanpa asumsi dan representasi khusus. Bahkan, sifat-sifat ini adalah persamaan, yang pada dasarnya adalah aturan untuk manipulasi untuk pekerjaan aljabar yang melibatkan fungsi δ ( x ). Arti dari persamaan ini adalah bahwa sisi kiri dan kanan ketika digunakan sebagai faktor pengali di bawah integral mengarah ke hasil yang sama.

• δ ( x ) = δ ( - x )
• δ * ( x ) = δ ( x )
• x δ ( x ) = 0