Integral

Sebuah integral tertentu dari sebuah fungsi dapat digambarkan sebagai area yang dibatasi oleh kurva fungsinya.

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika. Integral dan inversnya, diferensiasi, adalah operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi, yaitu matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ${\textstyle \int }$.

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, integral tertentu

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx$

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y, serta garis vertikal x = a dan x = b dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, ia disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai berikut.

$F=\int f(x)\,dx$

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], jika antiturunan F dari f diketahui, integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.

Definisi formal

Ada beberapa cara untuk mendefinisikan integral.

Integral Riemann

Artikel utama: Integral Riemann

Integral Riemann adalah konsep integral yang dasar. Definisi itu mudah dan berguna khususnya untuk fungsi-fungsi yang kontinu atau kontinu 'titik demi titik'.

Integral Lebesgue

Artikel utama: Integral Lebesgue

Integral Lebesgue merupakan suatu perumuman dari integral Riemann.

Mencari nilai integral

Substitusi

Berikut contoh penyelesaian secara substitusi.

$\int {\frac {\ln(x)}{x}}\,dx$

$t=\ln(x),\,dt={\frac {dx}{x}}$

Dengan menggunakan rumus di atas,

${\begin{aligned}&\;\int {\frac {\ln(x)}{x}}\,dx\\=&\;\int t\,dt\\=&\;{\frac {1}{2}}t^{2}+C\\=&\;{\frac {1}{2}}\ln ^{2}x+C\end{aligned}}$

Integrasi parsial

Cara 1: Rumus

Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan rumus.

$\int x\sin(x)\,dx$

$u=x,\,du=1\,dx,\,dv=\sin(x),\,v=-\cos(x)$

Dengan menggunakan rumus di atas,

${\begin{aligned}&\;\int x\sin(x)\,dx\\=&\;(x)(-\cos(x))-\int (-\cos(x))(1\,dx)\\=&\;-x\cos(x)+\int \cos(x)\,dx\\=&\;-x\cos(x)+\sin(x)+C\end{aligned}}$

Cara 2: Tabel

Untuk ${\textstyle \int u\,dv}$, berlaku ketentuan sebagai berikut.

Tanda	Turunan	Integral
+	$u$	$dv$
-	${\frac {du}{dx}}$	$v$
+	${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$	$\int v\,dx$

Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan tabel.

$\int x\sin(x)\,dx$

Tanda	Turunan	Integral
+	$x$	$\sin(x)$
-	$1$	$-\cos(x)$
+	$0$	$-\sin(x)$

Dengan tabel di atas,

${\begin{aligned}&\;\int x\sin(x)\,dx\\=&\;(x)(-\cos(x))-(1)(-\sin(x))+C\\=&\;-x\cos(x)+\sin(x)+C\end{aligned}}$

Substitusi trigonometri

Bentuk	Trigonometri
${\sqrt {a^{2}-b^{2}x^{2}}}$	$x={\frac {a}{b}}\sin(\alpha )$
${\sqrt {a^{2}+b^{2}x^{2}}}$	$x={\frac {a}{b}}\tan(\alpha )$
${\sqrt {b^{2}x^{2}-a^{2}}}$	$x={\frac {a}{b}}\sec(\alpha )$

Berikut contoh penyelesaian secara substitusi trigonometri.

$\int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}$

$x=2\tan(A),\,dx=2\sec ^{2}(A)\,dA$

Dengan substitusi di atas,

${\begin{aligned}&\;\int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{(2\tan(A))^{2}{\sqrt {4+(2\tan(A))^{2}}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{4\tan ^{2}(A){\sqrt {4+4\tan ^{2}(A)}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{4\tan ^{2}(A){\sqrt {4(1+\tan ^{2}(A))}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{4\tan ^{2}(A){\sqrt {4\sec ^{2}(A)}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{(4\tan ^{2}(A))(2\sec(A))}}\\=&\;\int {\frac {\sec(A)\,dA}{4\tan ^{2}(A)}}\\=&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {\sec(A)\,dA}{\tan ^{2}(A)}}\\=&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {\cos(A)}{\sin ^{2}(A)}}\,dA\end{aligned}}$

Substitusi berikut dapat dibuat.

$\int {\frac {\cos(A)}{\sin ^{2}(A)}}\,dA$

$t=\sin(A),\,dt=\cos(A)\,dA$

Dengan substitusi di atas,

${\begin{aligned}&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {\cos(A)}{\sin ^{2}(A)}}\,dA\\=&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {dt}{t^{2}}}\\=&\;{\frac {1}{4}}\left(-{\frac {1}{t}}\right)+C\\=&\;-{\frac {1}{4t}}+C\\=&\;-{\frac {1}{4\sin(A)}}+C\end{aligned}}$

Ingat bahwa ${\textstyle \sin(A)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+4}}}}$ berlaku.

${\begin{aligned}&\;-{\frac {1}{4\sin(A)}}+C\\=&\;-{\frac {\sqrt {x^{2}+4}}{4x}}+C\end{aligned}}$

Integrasi pecahan parsial

Berikut contoh penyelesaian secara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).

$\int {\frac {dx}{x^{2}-4}}$

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.

${\begin{aligned}&\;{\frac {1}{x^{2}-4}}\\=&\;{\frac {1}{(x+2)(x-2)}}\\=&\;{\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x-2}}\\=&\;{\frac {A(x-2)+B(x+2)}{x^{2}-4}}\\=&\;{\frac {(A+B)x-2(A-B)}{x^{2}-4}}\end{aligned}}$

Kita tahu bahwa ${\textstyle A+B=0}$ dan ${\textstyle A-B=-{\frac {1}{2}}}$ dapat diselesaikan, yaitu ${\textstyle A=-{\frac {1}{4}}}$ dan ${\textstyle B={\frac {1}{4}}}$.

${\begin{aligned}&\;\int {\frac {dx}{x^{2}-4}}\\=&\;\int -{\frac {1}{4(x+2)}}+{\frac {1}{4(x-2)}}\,dx\\=&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+2}}\,dx\\=&\;{\frac {1}{4}}(\ln |x-2|-\ln |x+2|)+C\end{aligned}}$

Rumus integrasi dasar

Umum

$\int x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C&n\neq -1\\\ln |x|+C&n=-1\end{cases}}$

Eksponen dan bilangan natural

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln(a)}}+C;\quad a\neq 1\land a>0$

Logaritma dan bilangan natural

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C$

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C=x\ln \left({\frac {x}{e}}\right)+C$

$\int \log _{a}(x)\,dx=x\log _{a}(x)-{\frac {x}{\ln(a)}}+C=x\log _{a}\left({\frac {x}{e}}\right)+C$

Trigonometri

$\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$

$\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C$

$\int \tan(x)\,dx=\ln |\sec(x)|+C$

$\int \cot(x)\,dx=-\ln |\csc(x)|+C$

$\int \sec(x)\,dx=\ln |\sec(x)+\tan(x)|+C$

$\int \csc(x)\,dx=-\ln |\csc(x)+\cot(x)|+C$

$\int \sin ^{2}(x)\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin(x)\cos(x))+C$

$\int \cos ^{2}(x)\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin(x)\cos(x))+C$

$\int \tan ^{2}(x)\,dx=\tan(x)-x+C$

$\int \cot ^{2}(x)\,dx=-\cot(x)-x+C$

$\int \sec ^{2}(x)\,dx=\tan(x)+C$

$\int \csc ^{2}(x)\,dx=-\cot(x)+C$

$\int \sec(x)\tan(x)\,dx=\sec(x)+C$

$\int \csc(x)\cot(x)\,dx=-\csc(x)+C$

Inversi

$\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin(x)+C$

$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan(x)+C$

$\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}\,dx=\operatorname {arcsec}(x)+C$

Hiperbolik

$\int \sinh(x)\,dx=\cosh(x)+C$

$\int \cosh(x)\,dx=\sinh(x)+C$

Panjang busur

• Sumbu x

$S=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx$

• Sumbu y

$S=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {1+(f'(y))^{2}}}\,dy$

Luas daerah

Satu kurva

• Sumbu x

$L=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx$

• Sumbu y

$L=\int _{y_{1}}^{y_{2}}f(y)\,dy$

Dua kurva

• Sumbu x

$L=\int _{x_{1}}^{x_{2}}(f(x_{2})-f(x_{1}))\,dx$

• Sumbu y

$L=\int _{y_{1}}^{y_{2}}(f(y_{2})-f(y_{1}))\,dy$

atau juga $L={\frac {D{\sqrt {D}}}{6a^{2}}}$

Luas permukaan benda putar

• Sumbu x

$L=2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,ds$

dengan $ds={\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx$

• Sumbu y

$L=2\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}f(y)\,ds$

dengan $ds={\sqrt {1+(f'(y)))^{2}}}\,dy$

Volume benda putar

Satu kurva

• Sumbu x

$V=\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}(f(x))^{2}\,dx$

• Sumbu y

$V=\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}(f(y))^{2}\,dy$

Dua kurva

• Sumbu x

$V=\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}((f(x_{2}))^{2}-(f(x_{1}))^{2})\,dx$

• Sumbu y

$V=\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}((f(y_{2}))^{2}-(f(y_{1}))^{2})\,dy$

Contoh

• Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis $y=x$ dan batas-batas sumbu y dengan rumus integral!

$L=\int xdx$

$L={\frac {1}{2}}x^{2}$ karena $y=x$

$L={\frac {1}{2}}xy$

• Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis $y=x^{2}$ dan batas-batas sumbu y dengan rumus integral!

$L=\int x^{2}dx$

$L={\frac {1}{3}}x^{3}$ karena $y=x^{2}$

$L={\frac {1}{3}}xy$

• Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis $y={\sqrt {x}}$ dan batas-batas sumbu y dengan rumus integral!

$L=\int {\sqrt {x}}dx$

$L={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}$ karena $y={\sqrt {x}}$

$L={\frac {2}{3}}xy$

• Buktikan luas persegi panjang $L=pl$ dengan rumus integral!

Dengan posisi $y=l$ dan titik (p,l)

$L=\int _{0}^{p}ldx$

$L=lx_{0}^{p}$

$L=pl-0$

$L=pl$

• Buktikan luas segitiga $L={\frac {at}{2}}$ dengan rumus integral!

Dengan posisi $y={\frac {-tx}{a}}+t$ dan titik (a,t)

$L=\int _{0}^{a}({\frac {-tx}{a}}+t)dx$

$L=[{\frac {-tx^{2}}{2a}}+tx]_{0}^{t}$

$L={\frac {-ta^{2}}{2a}}+ta-0+0$

$L={\frac {-ta}{2}}+ta$

$L={\frac {at}{2}}$

• Buktikan volume tabung $V=\pi r^{2}t$ dengan rumus integral!

Dengan posisi $y=r$ dan titik (t,r)

$V=\pi \int _{0}^{t}(r)^{2}dx$

$V=\pi [r^{2}x]_{0}^{t}$

$V=\pi (r^{2}t-0)$

$V=\pi r^{2}t$

• Buktikan volume kerucut $V={\frac {\pi r^{2}t}{3}}$ dengan rumus integral!

Dengan posisi $y={\frac {rx}{t}}$ dan titik (t,r)

$V=\pi \int _{0}^{t}({\frac {rx}{t}})^{2}dx$

$V=\pi [{\frac {r^{2}x^{3}}{3t^{2}}}]_{0}^{t}$

$V=\pi ({\frac {r^{2}t^{3}}{3t^{2}}}-0)$

$V={\frac {\pi r^{2}t}{3}}$

• Buktikan volume bola $V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$ dengan rumus integral!

Dengan posisi $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ dan titik (-r,0) serta (r,0)

$V=\pi \int _{-r}^{r}({\sqrt {r^{2}-x^{2}}})^{2}dx$

$V=\pi \int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx$

$V=\pi [r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}]_{-r}^{r}$

$V=\pi (r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}-(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}))$

$V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$

• Buktikan keliling lingkaran $K=2\pi r$ dengan rumus integral!

Dengan posisi $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ dan titik (-r,0) serta (r,0)

Dibuat turunan terlebih dahulu

$y'={\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

$K=4\int _{0}^{r}{\sqrt {1+({\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}})^{2}}}dx$

$K=4\int _{0}^{r}{\sqrt {1+({\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}})}}dx$

$K=4\int _{0}^{r}{\sqrt {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}dx$

$K=4r\int _{0}^{r}{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}dx$

$K=4r\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}dx$

$K=4r[arcsin{\frac {x}{r}}]_{0}^{r}$

$K=4r(arcsin{\frac {r}{r}}-arcsin{\frac {0}{r}})$

$K=4r(arcsin1-arcsin0)$

$K=4r({\frac {\pi }{2}})$

$K=2\pi r$

• Buktikan luas lingkaran $L=\pi r^{2}$ dengan rumus integral!

Dengan posisi $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ dan titik (-r,0) serta (r,0)

Dibuat trigonometri serta turunannya terlebih dahulu

$sin\theta ={\frac {x}{r}}$

$x=rsin\theta$

$dx=rcos\theta d\theta$

$L=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx$

$L=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-(rsin\theta )^{2}}}dx$

$L=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-r^{2}sin^{2}\theta }}dx$

$L=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}(1-sin^{2}\theta )}}dx$

$L=4\int _{0}^{r}rcos\theta dx$

$L=4\int _{0}^{r}rcos\theta (rcos\theta d\theta )$

$L=4\int _{0}^{r}r^{2}cos^{2}\theta d\theta$

$L=4r^{2}\int _{0}^{r}({\frac {1+cos2\theta }{2}})d\theta$

$L=2r^{2}\int _{0}^{r}(1+cos2\theta )d\theta$

$L=2r^{2}[\theta +{\frac {1}{2}}sin2\theta ]_{0}^{r}$

$L=2r^{2}[\theta +sin\theta cos\theta ]_{0}^{r}$

$L=2r^{2}[arcsin{\frac {x}{r}}+{\frac {x}{r}}{\frac {r^{2}-x^{2}}{r}}]_{0}^{r}$

$L=2r^{2}(arcsin{\frac {r}{r}}+{\frac {r}{r}}{\frac {r^{2}-r^{2}}{r}}-(arcsin{\frac {0}{r}}+{\frac {0}{r}}{\frac {r^{2}-0^{2}}{r}}))$

$L=2r^{2}(arcsin1+0-(arcsin0+0))$

$L=2r^{2}({\frac {\pi }{2}})$

$L=\pi r^{2}$

• Buktikan luas elips $L=\pi ab$ dengan rumus integral!

Dengan posisi $y={\frac {b{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{a}}$ dan titik (-a,0) serta (a,0)

$L=4\int _{0}^{r}{\frac {b{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{a}}dx$

$L={\frac {4b}{a}}\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}dx$

anggapan bahwa lingkaran mempunyai jari-jari di titik (-a,0) dan (a,0) setitik dengan elips maka

${\frac {L_{elips}}{L_{ling}}}={\frac {{\frac {4b}{a}}\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}dx}{4\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}dx}}$

${\frac {L_{elips}}{L_{ling}}}={\frac {b}{a}}$

$L_{elips}={\frac {b}{a}}L_{ling}$

$L_{elips}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}$

$L_{elips}=\pi ab$

Lihat pula

• Tabel integral
• Turunan

Pranala luar

• (Indonesia) Operator Integrasi Berulang