Segitiga siku-siku

Segitiga siku-siku adalah segitiga di mana satu sudut adalah sudut kanan (yaitu, sudut 90 derajat). Hubungan antara sisi dan sudut segitiga siku-siku adalah dasar untuk trigonometri.

Sisi yang berseberangan dengan sudut kanan disebut hypotenuse (sisi c pada gambar). Sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut kanan disebut kaki (atau catheti, singular: cathetus). Sisi a dapat diidentifikasi sebagai sisi yang berdekatan dengan sudut B dan berlawanan dengan (atau berlawanan) sudut A, sedangkan sisi b adalah sisi yang berdekatan dengan sudut A dan berlawanan dengan sudut B.

Jika panjang ketiga sisi dari segitiga siku-siku adalah bilangan bulat, segitiga tersebut disebut segitiga Pythagoras dan panjang sisinya secara kolektif dikenal sebagai triple Pythagoras.

Sifat utama

Luas

Seperti halnya segitiga apa pun, luasnya sama dengan satu setengah alas yang dikalikan dengan tinggi yang sesuai. Dalam segitiga siku-siku, jika satu kaki diambil sebagai alas maka yang lainnya adalah tinggi, maka luas segitiga siku-siku adalah satu setengah produk dari kedua kaki. Sebagai rumus, Luas T adalah

T={\tfrac {1}{2}}ab

di mana a dan b adalah kaki-kaki segitiga. Jika incircle bersinggungan dengan AB miring pada titik P, maka menunjukkan semi-perimeter(a + b + c) / 2 sebagai s yang kita miliki PA = s − a dan PB = s − b, dan luas diberikan oleh

T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).

Rumus ini hanya berlaku untuk segitiga siku-siku.^[1]

Tinggi

Jika tinggi diambil dari titik dengan sudut kanan ke sisi miring maka segitiga dibagi menjadi dua segitiga yang lebih kecil yang keduanya mirip dengan aslinya dan oleh karena itu mirip satu sama lain. Dari ini:

Ketinggian untuk sisi miring adalah rata-rata geometrik (rata-rata proporsional) dari dua segmen sisi miring.^[2]^:243
Setiap kaki dari segitiga adalah proporsi rata-rata dari sisi miring dan segmen sisi miring yang berdekatan dengan kaki.

Dalam persamaan,

\displaystyle f^{2}=de,

(ini kadang-kadang dikenal sebagai teorema tinggi segitiga siku-siku)

\displaystyle b^{2}=ce,

\displaystyle a^{2}=cd

di mana a, b, c, d, e, f adalah seperti yang ditunjukkan pada diagram.^[3] Jadi

f={\frac {ab}{c}}.

Selain itu, tinggi ke sisi miring terkait dengan kaki-kaki segitiga kanan^[4]^[5]

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.

Untuk solusi persamaan ini dalam nilai integer a, b, f, dan c, lihat di sini.

Tinggi dari kedua kaki bertepatan dengan kaki lainnya. Karena ini berpotongan di sudut siku-siku, orthocenter segitiga siku-siku — perpotongan tiga ketinggiannya — bertepatan dengan titik puncak sudut siku-siku.

Teori Pitagoras

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa:

Dalam setiap segitiga siku-siku, Luas dari bujur sangkar yang sisinya adalah sisi miring (sisi yang berlawanan dengan sudut kanan) sama dengan jumlah area kuadrat yang sisi-sisinya adalah dua kaki (dua sisi yang bertemu pada sudut kanan ).

Ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai

\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}

di mana c adalah panjang sisi miring, dan a dan b adalah panjang dari dua sisi yang tersisa.

Tripel Pythagoras adalah nilai integer dari a, b, c yang memenuhi persamaan ini.

Inradius dan circumradius

Jari-jari incircle dari segitiga siku-siku dengan kaki a dan b dan sisi miring c adalah

r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.

Jari-jari lingkaran adalah setengah panjang sisi miring,

R={\frac {c}{2}}.

Jadi jumlah dari circumradius dan inradius adalah setengah dari jumlah kaki:^[6]

R+r={\frac {a+b}{2}}.

Salah satu kaki dapat diekspresikan dalam istilah inradius dan kaki lainnya sebagai

\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.

karakterisasi

Segitiga ABC dengan sisi $a\leq b<c$ , semiperimeter s, Luas T, tinggi h berlawanan dengan sisi terpanjang, circumradius R, inradius r, exradii r_a, r_b, r_c (bersinggungan dengan a, b, c masing-masing), dan median m_a, m_b, m_c adalah segitiga siku-siku jika dan hanya jika salah satu dari pernyataan dalam enam kategori berikut ini benar. Semuanya tentu saja juga properti dari segitiga siku-siku, karena karakterisasi adalah kesetaraan.

Sisi dan semiperimeter

$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{teori Pitagoras}})$
$\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)$
$\displaystyle s=2R+r.$ ^[7]
$\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.$ ^[8]

Sudut

A dan B adalah komplementer.^[9]
$\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.$ ^[10]^[11]
$\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.$ ^[10]^[11]
$\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.$ ^[11]
$\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.$

Referensi

^ Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, July 2003, pp. 323-324.
^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Posamentier
^ Wentworth p. 156
^ Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
^ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.
^ Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [1].
^ Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011
^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Andreescu2
^ Properties of Right Triangles
^ ^a ^b Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Andreescu3
^ ^a ^b ^c CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, [2].

(Inggris) Weisstein, Eric W. "Right Triangle". MathWorld.
Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. Ginn & Co.

Pranala luar

[1] Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, July 2003, pp. 323-324.

[Posamentier-2] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Posamentier

[3] Wentworth p. 156

[4] Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.

[5] Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.

[Crux-6] Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [1].

[7] Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011

[Andreescu2-8] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Andreescu2

[9] Properties of Right Triangles

[Andreescu3-10] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Andreescu3

[CTK-11] CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, [2].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]