Kurva

Parabola, salah satu kurva paling sederhana, setelah garis (lurus)

Dalam matematika, kurva (juga disebut garis lengkung dalam teks yang lebih tua) adalah objek yang mirip dengan garis yang tidak harus lurus.

Definisi kurva ini telah diformalkan dalam matematika modern sebagai: Sebuah Kurva adalah gambar fungsi kontinu dari suatu interval ke ruang topologi. Dalam beberapa konteks, fungsi yang mendefinisikan kurva disebut parametrization, dan kurva adalah kurva parametrik. Dalam artikel ini, kurva ini kadang-kadang disebut kurva topologi untuk membedakannya dari kurva yang lebih terbatas seperti kurva yang dapat dibedakan. Definisi ini mencakup sebagian besar kurva yang dipelajari dalam matematika; pengecualian yang menonjol adalah kurva level (yang merupakan gabungan dari kurva dan titik yang terisolasi), dan kurva aljabar (lihat di bawah). Kurva level dan kurva aljabar kadang-kadang disebut kurva implisit, karena mereka umumnya didefinisikan oleh persamaan implisit.

Namun demikian, kelas kurva topologi sangat luas, dan mengandung beberapa kurva yang tidak terlihat seperti yang diharapkan seseorang untuk kurva, atau bahkan tidak dapat ditarik. Ini adalah kasus kurva mengisi ruang dan kurva fraktal. Untuk mengasuransikan lebih banyak keteraturan, fungsi yang mendefinisikan suatu kurva seringkali dianggap dapat dibedakan, dan kurva tersebut kemudian dikatakan kurva yang berbeda.

Kurva yang berbeda

Secara kasar, kurva yang diberbeda adalah kurva yang didefinisikan sebagai gambar fungsi yang dapat dibedakan secara lokal $\gamma \colon I\rightarrow X$ dari interval dari bilangan real menjadi bermacam-macam X, seringkali $\mathbb {R} ^{n}.$

Panjang kurva

Jika $X=\mathbb {R} ^{n}$ adalah $n$ ruang-dimensi Euclidean , dan jika $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ adalah fungsi injeksi dan terus menerus dapat dibedakan, kemudian panjangnya $\gamma$didefinisikan sebagai kuantitas

$\operatorname {Panjang} (\gamma )~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.$

Panjang kurva tidak tergantung pada parametrization $\gamma$.

Khususnya, panjangnya $s$ dari grafik fungsi yang terus dapat dibedakan $y=f(x)$ didefinisikan pada interval tertutup $[a,b]$ adalah

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x}.$

Lebih umum, jika $X$ adalah ruang metrik dengan metrik $d$, maka kita bisa mendefinisikan panjang kurva $\gamma :[a,b]\to X$ by

$\operatorname {Panjang} (\gamma )~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{dan}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right),$

di mana supremum diambil alih semua $n\in \mathbb {N}$ dan semua partisi $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ of $[a,b]$.

Kurva yang dapat diperbaiki adalah kurva dengan panjang yang terbatas. Kurva $\gamma :[a,b]\to X$ disebut alami (atau satuan kecepatan parametrized oleh panjang busur) jika ada $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ seperti yang $t_{1}\leq t_{2}$, kita mempunyai

$\operatorname {Panjang} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.$

Jika $\gamma :[a,b]\to X$ adalah fungsi berkelanjutan Lipschitz, maka secara otomatis dapat diperbaiki. Selain itu, dalam hal ini, seseorang dapat menentukan kecepatan (atau turunan metrik) dari $\gamma$ pada $t\in [a,b]$ sebagai

${\operatorname {Kecepatan} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\limsup _{[a,b]\ni s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}$

dan kemudian ditunjukkan itu

$\operatorname {Panjang} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Kecepatan} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.$

Pranala luar

• Famous Curves Index, Sekolah Matematika dan Statistik, Universitas St Andrews, Skotlandia.
• Mathematical curves Kumpulan 874 kurva matematika dua dimensi.
• Galeri Kurva Luar Angkasa yang Dibuat dari Lingkaran, termasuk animasi oleh Peter Moses
• Galeri Kurva Uskup dan Kurva Bulat Lainnya, termasuk animasi oleh Peter Moses
• Artikel Ensiklopedia Matematika dalam garis.
• Halaman Manifold Atlas pada 1-manifold.