Integral

Integral tertentu suatu fungsi dapat digambarkan sebagai area yang dibatasi oleh kurva fungsinya.

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika. Integral dan inversnya, diferensiasi, adalah operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi, yaitu matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ${\textstyle \int }$.

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, integral tertentu

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx$

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y, serta garis vertikal x = a dan x = b dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, ia disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai berikut.

$F=\int f(x)\,dx$

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], jika antiturunan F dari f diketahui, integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.

Definisi formal

Ada beberapa cara untuk mendefinisikan integral.

Integral Riemann

Artikel utama: Integral Riemann

Integral Riemann adalah konsep integral yang dasar. Definisi itu mudah dan berguna khususnya untuk fungsi-fungsi yang kontinu atau kontinu 'titik demi titik'.

Integral Lebesgue

Artikel utama: Integral Lebesgue

Integral Lebesgue merupakan suatu perumuman dari integral Riemann.

Mencari nilai integral

Substitusi

Berikut contoh penyelesaian secara substitusi.

$\int {\frac {\ln(x)}{x}}\,dx$

$t=\ln(x),\,dt={\frac {dx}{x}}$

Dengan menggunakan rumus di atas,

${\begin{aligned}&\;\int {\frac {\ln(x)}{x}}\,dx\\=&\;\int t\,dt\\=&\;{\frac {1}{2}}t^{2}+C\\=&\;{\frac {1}{2}}\ln ^{2}x+C\end{aligned}}$

Integrasi parsial

Cara 1: Rumus

Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan rumus.

$\int x\sin(x)\,dx$

$u=x,\,du=1\,dx,\,dv=\sin(x),\,v=-\cos(x)$

Dengan menggunakan rumus di atas,

${\begin{aligned}&\;\int x\sin(x)\,dx\\=&\;(x)(-\cos(x))-\int (-\cos(x))(1\,dx)\\=&\;-x\cos(x)+\int \cos(x)\,dx\\=&\;-x\cos(x)+\sin(x)+C\end{aligned}}$

Cara 2: Tabel

Untuk ${\textstyle \int u\,dv}$, berlaku ketentuan sebagai berikut.

Tanda	Turunan	Integral
+	$u$	$dv$
-	${\frac {du}{dx}}$	$v$
+	${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$	$\int v\,dx$

Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan tabel.

$\int x\sin(x)\,dx$

Tanda	Turunan	Integral
+	$x$	$\sin(x)$
-	$1$	$-\cos(x)$
+	$0$	$-\sin(x)$

Dengan tabel di atas,

${\begin{aligned}&\;\int x\sin(x)\,dx\\=&\;(x)(-\cos(x))-(1)(-\sin(x))+C\\=&\;-x\cos(x)+\sin(x)+C\end{aligned}}$

Substitusi trigonometri

Bentuk	Trigonometri
${\sqrt {a^{2}-b^{2}x^{2}}}$	$x={\frac {a}{b}}\sin(\alpha )$
${\sqrt {a^{2}+b^{2}x^{2}}}$	$x={\frac {a}{b}}\tan(\alpha )$
${\sqrt {b^{2}x^{2}-a^{2}}}$	$x={\frac {a}{b}}\sec(\alpha )$

Berikut contoh penyelesaian secara substitusi trigonometri.

$\int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}$

$x=2\tan(A),\,dx=2\sec ^{2}(A)\,dA$

Dengan substitusi di atas,

${\begin{aligned}&\;\int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{(2\tan(A))^{2}{\sqrt {4+(2\tan(A))^{2}}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{4\tan ^{2}(A){\sqrt {4+4\tan ^{2}(A)}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{4\tan ^{2}(A){\sqrt {4(1+\tan ^{2}(A))}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{4\tan ^{2}(A){\sqrt {4\sec ^{2}(A)}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{(4\tan ^{2}(A))(2\sec(A))}}\\=&\;\int {\frac {\sec(A)\,dA}{4\tan ^{2}(A)}}\\=&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {\sec(A)\,dA}{\tan ^{2}(A)}}\\=&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {\cos(A)}{\sin ^{2}(A)}}\,dA\end{aligned}}$

Substitusi berikut dapat dibuat.

$\int {\frac {\cos(A)}{\sin ^{2}(A)}}\,dA$

$t=\sin(A),\,dt=\cos(A)\,dA$

Dengan substitusi di atas,

${\begin{aligned}&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {\cos(A)}{\sin ^{2}(A)}}\,dA\\=&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {dt}{t^{2}}}\\=&\;{\frac {1}{4}}\left(-{\frac {1}{t}}\right)+C\\=&\;-{\frac {1}{4t}}+C\\=&\;-{\frac {1}{4\sin(A)}}+C\end{aligned}}$

Ingat bahwa ${\textstyle \sin(A)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+4}}}}$ berlaku.

${\begin{aligned}&\;-{\frac {1}{4\sin(A)}}+C\\=&\;-{\frac {\sqrt {x^{2}+4}}{4x}}+C\end{aligned}}$

Integrasi pecahan parsial

Berikut contoh penyelesaian secara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).

$\int {\frac {dx}{x^{2}-4}}$

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.

${\begin{aligned}&\;{\frac {1}{x^{2}-4}}\\=&\;{\frac {1}{(x+2)(x-2)}}\\=&\;{\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x-2}}\\=&\;{\frac {A(x-2)+B(x+2)}{x^{2}-4}}\\=&\;{\frac {(A+B)x-2(A-B)}{x^{2}-4}}\end{aligned}}$

Kita tahu bahwa ${\textstyle A+B=0}$ dan ${\textstyle A-B=-{\frac {1}{2}}}$ dapat diselesaikan, yaitu ${\textstyle A=-{\frac {1}{4}}}$ dan ${\textstyle B={\frac {1}{4}}}$.

${\begin{aligned}&\;\int {\frac {dx}{x^{2}-4}}\\=&\;\int -{\frac {1}{4(x+2)}}+{\frac {1}{4(x-2)}}\,dx\\=&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+2}}\,dx\\=&\;{\frac {1}{4}}(\ln |x-2|-\ln |x+2|)+C\end{aligned}}$

Rumus integrasi dasar

Umum

$\int x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C&n\neq -1\\\ln |x|+C&n=-1\end{cases}}$

Eksponen dan bilangan natural

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln(a)}}+C;\quad a\neq 1\land a>0$

Logaritma dan bilangan natural

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C$

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C=x\ln \left({\frac {x}{e}}\right)+C$

$\int \log _{a}(x)\,dx=x\log _{a}(x)-{\frac {x}{\ln(a)}}+C=x\log _{a}\left({\frac {x}{e}}\right)+C$

Trigonometri

$\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$

$\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C$

$\int \tan(x)\,dx=\ln |\sec(x)|+C$

$\int \cot(x)\,dx=-\ln |\csc(x)|+C$

$\int \sec(x)\,dx=\ln |\sec(x)+\tan(x)|+C$

$\int \csc(x)\,dx=-\ln |\csc(x)+\cot(x)|+C$

$\int \sin ^{2}(x)\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin(x)\cos(x))+C$

$\int \cos ^{2}(x)\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin(x)\cos(x))+C$

$\int \tan ^{2}(x)\,dx=\tan(x)-x+C$

$\int \cot ^{2}(x)\,dx=-\cot(x)-x+C$

$\int \sec ^{2}(x)\,dx=\tan(x)+C$

$\int \csc ^{2}(x)\,dx=-\cot(x)+C$

$\int \sec(x)\tan(x)\,dx=\sec(x)+C$

$\int \csc(x)\cot(x)\,dx=-\csc(x)+C$

Inversi

$\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin(x)+C$

$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan(x)+C$

$\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}\,dx=\operatorname {arcsec}(x)+C$

Hiperbolik

$\int \sinh(x)\,dx=\cosh(x)+C$

$\int \cosh(x)\,dx=\sinh(x)+C$

Panjang busur

Sumbu x

$S=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx$

Sumbu y

$S=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {1+(f'(y))^{2}}}\,dy$

Luas daerah

Satu kurva

Sumbu x

$L=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx$

Sumbu y

$L=\int _{y_{1}}^{y_{2}}f(y)\,dy$

Dua kurva

Sumbu x

$L=\int _{x_{1}}^{x_{2}}(f(x_{2})-f(x_{1}))\,dx$

Sumbu y

$L=\int _{y_{1}}^{y_{2}}(f(y_{2})-f(y_{1}))\,dy$

atau juga $L={\frac {D{\sqrt {D}}}{6a^{2}}}$

Luas permukaan benda putar

Sumbu x sebagai poros

$L=2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,ds$

dengan

$ds={\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx$

Sumbu y sebagai poros

$L=2\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}f(y)\,ds$

dengan

$ds={\sqrt {1+(f'(y))^{2}}}\,dy$

Volume benda putar

Satu kurva

Sumbu x sebagai poros

$V=\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}(f(x))^{2}\,dx$

Sumbu y sebagai poros

$V=\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}(f(y))^{2}\,dy$

Dua kurva

Sumbu x sebagai poros

$V=\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}((f(x_{2}))^{2}-(f(x_{1}))^{2})\,dx$

Sumbu y sebagai poros

$V=\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}((f(y_{2}))^{2}-(f(y_{1}))^{2})\,dy$

Contoh

• Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis $y=x$ dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!

${\begin{aligned}L&=\int x\,dx\\L&={\frac {1}{2}}x^{2}\\L&={\frac {1}{2}}xy\quad (y=x)\end{aligned}}$

• Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis $y=x^{2}$ dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!

${\begin{aligned}L&=\int x^{2}\,dx\\L&={\frac {1}{3}}x^{3}\\L&={\frac {1}{3}}xy\quad (y=x^{2})\end{aligned}}$

• Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis $y={\sqrt {x}}$ dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!

${\begin{aligned}L&=\int {\sqrt {x}}\,dx\\L&={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\\L&={\frac {2}{3}}xy\quad (y={\sqrt {x}})\end{aligned}}$

• Buktikan luas persegi panjang $L=pl$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=l$ dan titik (p, l),

${\begin{aligned}L&=\int _{0}^{p}l\,dx\\L&=lx|_{0}^{p}\\L&=pl-0\\L&=pl\end{aligned}}$

• Buktikan luas segitiga $L={\frac {at}{2}}$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y={\frac {-tx}{a}}+t$ dan titik (a, t),

${\begin{aligned}L&=\int _{0}^{a}\left({\frac {-tx}{a}}+t\right)\,dx\\L&=\left.{\frac {-tx^{2}}{2a}}+tx\right|_{0}^{a}\\L&={\frac {-ta^{2}}{2a}}+ta-0+0\\L&={\frac {-ta}{2}}+ta\\L&={\frac {at}{2}}\end{aligned}}$

• Buktikan volume tabung $V=\pi r^{2}t$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=r$ dan titik (t, r),

${\begin{aligned}V&=\pi \int _{0}^{t}r^{2}\,dx\\V&=\pi \left.r^{2}x\right|_{0}^{t}\\V&=\pi r^{2}t-0\\V&=\pi r^{2}t\end{aligned}}$

• Buktikan volume kerucut $V={\frac {\pi r^{2}t}{3}}$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y={\frac {rx}{t}}$ dan titik (t, r),

${\begin{aligned}V&=\pi \int _{0}^{t}\left({\frac {rx}{t}}\right)^{2}\,dx\\V&=\pi \left.{\frac {r^{2}x^{3}}{3t^{2}}}\right|_{0}^{t}\\V&=\pi {\frac {r^{2}t^{3}}{3t^{2}}}-0\\V&={\frac {\pi r^{2}t}{3}}\end{aligned}}$

• Buktikan volume bola $V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ serta titik (-r, 0) dan (r, 0),

${\begin{aligned}V&=\pi \int _{-r}^{r}\left({\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\right)^{2}\,dx\\V&=\pi \int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx\\V&=\pi \left.r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-r}^{r}\\V&=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}-\left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)\right)\\V&={\frac {4\pi r^{3}}{3}}\end{aligned}}$

• Buktikan keliling lingkaran $K=2\pi r$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ serta titik (-r, 0) dan (r, 0),

Kita tahu bahwa turunannya adalah

$y'={\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

sehingga

${\begin{aligned}K&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {1+({\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}})^{2}}}\,dx\\K&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {1+({\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}})}}\,dx\\K&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\K&=4r\int _{0}^{r}{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\K&=4r\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\K&=4r\;\left.\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right)\right|_{0}^{r}\\K&=4r\left(\arcsin \left({\frac {r}{r}}\right)-\arcsin \left({\frac {0}{r}}\right)\right)\\K&=4r\left(\arcsin \left(1\right)-\arcsin \left(0\right)\right))\\K&=4r\left({\frac {\pi }{2}}\right)\\K&=2\pi r\end{aligned}}$

• Buktikan luas lingkaran $L=\pi r^{2}$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ serta titik (-r, 0) dan (r, 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu.

${\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {x}{r}}\\x&=r\sin(\theta )\\dx&=r\cos(\theta )\,d\theta \end{aligned}}$

Dengan turunan di atas,

${\begin{aligned}L&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\\L&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-(r\sin(\theta ))^{2}}}\,dx\\L&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}\,dx\\L&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}(1-\sin ^{2}(\theta ))}}\,dx\\L&=4\int _{0}^{r}r\cos(\theta )\,dx\\L&=4\int _{0}^{r}r\cos(\theta )(r\cos(\theta )\,d\theta )\\L&=4\int _{0}^{r}r^{2}\cos ^{2}(\theta )\,d\theta \\L&=4r^{2}\int _{0}^{r}\left({\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}\right)\,d\theta \\L&=2r^{2}\int _{0}^{r}(1+\cos(2\theta ))\,d\theta \\L&=2r^{2}\left(\theta +{\frac {1}{2}}\sin(2\theta )\right)_{0}^{r}\\L&=2r^{2}(\theta +\sin(\theta )\cos(\theta ))_{0}^{r}\\L&=2r^{2}\left(\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right)+\left({\frac {x}{r}}\right)\left({\frac {r^{2}-x^{2}}{r}}\right)\right)_{0}^{r}\\L&=2r^{2}\left(\arcsin \left({\frac {r}{r}}\right)+\left({\frac {r}{r}}\right)\left({\frac {r^{2}-r^{2}}{r}}\right)\right)-\left(\arcsin \left({\frac {0}{r}}\right)+\left({\frac {0}{r}}\right)\left({\frac {r^{2}-0^{2}}{r}}\right)\right)\\L&=2r^{2}(\arcsin(1)+0-(\arcsin(0)+0))\\L&=2r^{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)\\L&=\pi r^{2}\end{aligned}}$

• Buktikan luas elips $L=\pi ab$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y={\frac {b{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{a}}$ serta (-a, 0) dan (a, 0),

${\begin{aligned}L&=4\int _{0}^{r}{\frac {b{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{a}}\,dx\\L&={\frac {4b}{a}}\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx\end{aligned}}$

Dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-a, 0) dan (a, 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips,

${\begin{aligned}{\frac {L_{\text{elips}}}{L_{\text{ling}}}}&={\frac {{\frac {4b}{a}}\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx}{4\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx}}\\{\frac {L_{\text{elips}}}{L_{\text{ling}}}}&={\frac {b}{a}}\\L_{\text{elips}}&={\frac {b}{a}}L_{\text{ling}}\\L_{\text{elips}}&={\frac {b}{a}}\pi a^{2}\\L_{\text{elips}}&=\pi ab\end{aligned}}$

Lihat pula

• Tabel integral
• Turunan

Pranala luar

• (Indonesia) Operator Integrasi Berulang