The integral of a positive function can be interpreted as the area under a curve.
Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.
Konstruksi
Ruang ukuran
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran
.
Integral dari fungsi sederhana
Fungsi karakteristik
untuk himpunan
adalah
![{\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {jika} \;x\in A\\0&\mathrm {jika} \;x\not \in A\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945c5df7f4a39b7c33b086bfac3feddfb5aa0e06)
Suatu fungsi
tersebut fungsi sederhana, jika
![{\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8315d4f4de0a83bceabd5789e9bbfca53d032b)
untuk
,
dan
.
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana
sebagai
![{\displaystyle \int _{X}\phi \,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\,\alpha _{i}\mu (A_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a5c28db272b04ef176128d4c75311a663c9334f)
Integral dari fungsi tak negatif
Misalnya
suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana
aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai
![{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup \left\{\int _{X}\phi \,d\mu :\phi {\text{ sederhana, }}0\leq \phi \leq f\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06084b9afbef785620051ac9b0d2f9274c598f72)
Perhatikan bahwa
.
Integral dari fungsi terukur sembarang
Misalnya
suatu fungsi terukur.
Selanjutnya fungsi tak negatif
dan
adalah didefinisikan tik demi tik sebagai
dan
.
Perhatikan bahwa
dan
.
Jika
dan
, maka
dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan
![{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}f^{+}\,d\mu -\int _{X}f^{-}\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f243e522eca0ad7f5408ac7ba20c082ebd7279e8)
Jelas,
terintegralkan jika dan hanya jika
.
Sifat-sifat dasar
- Integral itu linear, yaitu jika
dan
fungsi terintegralkan, maka
juga terintegralkan dengan
![{\displaystyle \int _{X}\alpha f+\beta g\,d\mu =\alpha \int _{X}f\,d\mu +\beta \int _{X}g\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a120d22d58f4ea1a120f1c9f1f25707bd9662566)
- Integral itu monoton, yaitu jika
fungsi terintegralkan dan
, maka
![{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65426a52e9938f23f702c92be4da32a3692ea32)