Lema Titu

Informasi lebih lanjut: Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz

Lemma Titu (ditemukan oleh Titu Andreescu, atau dikenal juga lemma T2, bentuk Engel, atau Pertidaksamaan Sedrakyan) menyatakan untuk real positif, kita harus mencari

${\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.$

Konsekuensi dari Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah perolehan setelah menggunakan $u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}$ dan $v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}.$ Bentuk ini membantu kita saat pertidaksamaan melibatkan pecahan di mana bilangannya adalah kuadrat sempurna.

It then becomes

${\begin{aligned}\left({\frac {x_{1}^{2}}{y_{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{y_{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{y_{n}}}\right)(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})&\geq (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{2}\\{\frac {x_{1}^{2}}{y_{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{y_{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{y_{n}}}&\geq {\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{2}}{(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})}}.\end{aligned}}$

Definisi

Dari nilai biasa $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ dan $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$, yaitu

${\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}}.$

Bukti

Setelah itu memporoleh dengan menerapkan substitusi $a_{i}={\frac {x_{i}}{\sqrt {y_{i}}}}$ dan $b_{i}={\sqrt {y_{i}}}$

ke dalam Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz.

Setelah itu kemudian menjadi

${\begin{aligned}\left({\frac {x_{1}^{2}}{y_{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{y_{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{y_{n}}}\right)(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})&\geq (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{2}\\{\frac {x_{1}^{2}}{y_{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{y_{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{y_{n}}}&\geq {\frac {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{2}}{(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})}}.\ _{\square }\end{aligned}}$

Aplikasi

- Dalam pengembangan -

Umum

Jika nilai $\displaystyle {\bigg (}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt[{\frac {m}{m-1}}]{a_{i}}}^{\frac {m}{m-1}}{\bigg )}^{\frac {1}{\ {\frac {m}{m-1}}\ }}\left(\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {x_{i}^{m}}{\left({\frac {a_{i}}{\sqrt[{m}]{a_{i}}}}\right)^{m}}}\right)^{\frac {1}{m}}\geq \sum _{i=1}^{n}x_{i},$

Rumus diatas adalah Pertidaksamaan Holder

Setelah itu menyederhanakan hasil, yaitu:

${\begin{aligned}\displaystyle {\bigg (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bigg )}^{\frac {m-1}{m}}{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {x_{i}^{m}}{a_{i}^{m-1}}}{\bigg )}^{\frac {1}{m}}&\geq \sum _{i=1}^{n}x_{i}\\{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bigg )}^{m-1}{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {x_{i}^{m}}{a_{i}^{m-1}}}{\bigg )}&\geq {\bigg (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}^{m}\\{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {x_{i}^{m}}{a_{i}^{m-1}}}{\bigg )}&\geq {\dfrac {{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}^{m}}{{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bigg )}^{m-1}}}.\end{aligned}}$

Lemma Titu dalam Bukti

- Dalam pengembangan -

Lihat pula

• Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz