Integral Riemann

Urutan jumlah Riemann di atas partisi reguler dari sebuah interval. Angka di atas adalah total luas persegi panjang, yang menyatu dengan integral fungsi.

Partisi tidak perlu teratur, seperti yang ditunjukkan di sini. Perkiraan tersebut berfungsi selama lebar setiap subdivisi cenderung nol.

Integral Riemann, dalam cabang matematika yang dikenal sebagai analisis riil, merupakan definisi ketat pertama integral sebuah fungsi dalam sebuah selang. Meskipun integral Riemann tidak cocok untuk banyak kegunaan teoretis, integral ini merupakan salah satu integral yang paling mudah untuk didefinisikan. Sebagian kekurangan teknis ini dapat diperbaiki oleh integral Riemann-Stieltjes, dan kebanyakan tidak ada lagi pada integral Lebesgue.

Integral sebagai luas daerah di bawah kurva.

Tinjauan umum

Misalkan f adalah fungsi riil pada selang [a, b], dan misalkan S = { (x, y| 0 < y < f(x)} merupakan daerah di bawah grafik fungsi f dan di antara selang [a, b]. Kita ingin mengukur luas daerah S. Bila kita telah mengukurnya, kita akan melambangkan daerah tersebut sebagai:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Gagasan dasar integral Riemann adalah menggunakan hampiran yang sangat sederhana untuk daerah S. Dengan mengambil hampiran yang semakin baik, kita dapat mengatakan "dalam limitnya" kita mendapatkan luas daerah S di bawah kurva.

Perhatikan bahwa bila ƒ bisa bernilai baik positif atau negatif, integral tersebut terkait dengan daerah bertanda di bawah grafik ƒ, yaitu luas daerah di atas sumbu-x dikurangi luas daerah di bawah sumbu-x.

Barisan jumlahan Riemann. Bilangan di kanan atas adalah luas daerah persegi panjang abu-abu, yang konvergen terhadap integral fungsi tersebut

Definisi

Partisi dari selang

Himpunan $P=\{x_{0},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ disebut partisi dari selang $[a,b]$ apabila

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.$

Jika $P$ dan $Q$ partisi dari $[a,b]$, maka $Q$ disebut suatu perhalusan dari $P$ apabila $P\subseteq Q$.

Jumlah Riemann bawah dan atas

Misalkan $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ adalah fungsi riil yang terbatas. Untuk setiap partisi $P=\{x_{0},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ dari $[a,b]$, kita dapat mendefinisikan Jumlah Riemann bawah sebagai

$L(P,f)=\sum _{k=1}^{n}m_{k}(x_{k}-x_{k-1})$

dengan $m_{k}=\inf _{x\in [x_{k},x_{k-1}]}f(x)$.

Selanjutnya, kita juga mendefinisikan Jumlah Riemann atas sebagai

$U(P,f)=\sum _{k=1}^{n}M_{k}(x_{k}-x_{k-1})$

dengan $M_{k}=\sup _{x\in [x_{k},x_{k-1}]}f(x)$.

Integral Riemann bawah dan atas

Kita mendefinisikan integral Riemann bawah dari $f$ di $[a,b]$ sebagai

$L(f)=\sup \left\{L(f,P):P{\mbox{ partisi dari }}[a,b]\right\},$

dan integralnya Riemann atas sebagai

$U(f)=\inf \left\{U(f,P):P{\mbox{ partisi dari }}[a,b]\right\}.$

Catat bawah $L(f)\leq U(f)$.

Jika $L(f)=U(f)$, maka $f$ dikatakan terintegralkan Riemann dan nilai yang sama tersebut integral Riemann, yang dilambangkan dengan

$\int _{a}^{b}f(x)dx.$