Perkalian matriks

Dalam matematika, perkalian matriks atau produk matriks adalah suatu operasi biner yang menghasilkan suatu matriks dari dua matriks dengan entri dalam suatu medan, atau secara lebih umum dalam suatu gelanggang atau bahkan suatu semigelanggang. Produk matriks dirancang untuk menampilkan komposisi peta linier yang diwakili oleh matriks-matriks. Oleh sebab itu pengalian matriks merupakan operasi paling mendasar dalam bidang aljabar linier, dan karena itu banyaknya penerapannya di bidang matematika. Pengalian matriks juga merupakan operasi yang penting dalam matematika terapan, fisika, dan teknik.^[1]^[2] Secara lebih rinci, jika A adalah suatu matriks n × m dan B adalah suatu matriks m × p, hasil pengalian matriks AB adalah suatu matriks n × p, dimana entri m di sepanjang baris A dikalikan dengan entri m di sepanjang kolom B dan dijumlahkan untuk menghasilkan suatu entri dari AB. Apabila dua peta linear diwakili oleh matriks-matriks, maka pengalian matriks mewakili komposisi dua peta.

Definisi produk matriks membutuhkan adanya entri-entri dari suatu semigelanggang, dan tidak membutuhkan pengalian unsur-unsur semigelanggang agar komutatif. Dalam banyak penerapan, unsur-unsur matriks menjadi bagian suatu medan, meskipun semigelanggang tropikal juga merupakan suatu pilihan umum untuk masalah jarak terpendek.^[3] Bahkan dalam kasus matriks-matriks atas medan-medan, hasil pengaliannya pada umumnya tidak komutatif, meskipun dalam penjumlahan matriks bersifat asosiatif dan distributif. Matriks-matriks identitas (yaitu matriks persegi panjang dimana entri-entrinya bernilai nol di luar diagonal utama dan 1 pada diagonal utama) adalah unsur-unsur identitas dari pengalian matriks. Maka dari itu, matriks n x n pada suatu gelanggang membentuk suatu gelanggang, yang tidak komutatif kecuali jika n=1 dan gelanggang dasarnya komutatif.

Definisi

Jika $A$ adalah matriks $n \times m$ dan $B$ adalah asdasdasd matriks $m \times p$ ,

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mp}\\\end{pmatrix}}

Produk matriks $C = AB$ adalah matriks $n \times p$ .^[4]^[5]^[6]^[7]

\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\cdots &c_{np}\\\end{pmatrix}}

sehingga

c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+\cdots +a_{im}b_{mj}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj},

for $i = 1, ..., n$ dan $j = 1, ..., p$ .

Catatan kontol

^ Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1991). Encyclopaedia of Physics (edisi ke-2nd). VHC publishers. ISBN 3-527-26954-1.
^ Parker, C. B. (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (edisi ke-2nd). ISBN 0-07-051400-3.
^ Motwani, Rajeev; Raghavan, Prabhakar (1995). Randomized Algorithms. Cambridge University Press. hlm. 280. ISBN 9780521474658.
^ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum's Outlines (edisi ke-4th). McGraw Hill (USA). hlm. 30–31. ISBN 978-0-07-154352-1.
^ Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
^ Adams, R. A. (1995). Calculus, A Complete Course (edisi ke-3rd). Addison Wesley. hlm. 627. ISBN 0 201 82823 5.
^ Horn, Johnson (2013). Matrix Analysis (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. hlm. 6. ISBN 978 0 521 54823 6.

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

[Physics_1991-1] Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1991). Encyclopaedia of Physics (edisi ke-2nd). VHC publishers. ISBN 3-527-26954-1.

[2] Parker, C. B. (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (edisi ke-2nd). ISBN 0-07-051400-3.

[3] Motwani, Rajeev; Raghavan, Prabhakar (1995). Randomized Algorithms. Cambridge University Press. hlm. 280. ISBN 9780521474658.

[4] Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum's Outlines (edisi ke-4th). McGraw Hill (USA). hlm. 30–31. ISBN 978-0-07-154352-1.

[5] Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.

[6] Adams, R. A. (1995). Calculus, A Complete Course (edisi ke-3rd). Addison Wesley. hlm. 627. ISBN 0 201 82823 5.

[7] Horn, Johnson (2013). Matrix Analysis (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. hlm. 6. ISBN 978 0 521 54823 6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]