Faktorial

Anggota terpilih dari faktorial urutan (barisan A000142 pada OEIS); nilai yang ditentukan dalam notasi ilmiah dibulatkan ke presisi yang ditampilkan
$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87.178.291.200
15	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355.687.428.096.000
18	6.402.373.705.728.000
19	121.645.100.408.832.000
20	2.432.902.008.176.640.000
25	1,551121004×10²⁵
50	3,041409320×10⁶⁴
70	1,197857167×10¹⁰⁰
100	9,332621544×10¹⁵⁷
450	1.733368733×10¹⁰⁰⁰
1000	4.023872601×10²⁵⁶⁷
3249	6,412337688×10^10.000
10000	2,846259681×10^35.659
25206	1,205703438×10^100.000
100000	2,824229408×10^456.573
205023	2,503898932×10^1.000.004
1000000	8,263931688×10^5.565.708
10¹⁰⁰	10^{10^101,9981097754820}

Dalam matematika, Faktorial dari bilangan bulat positif dari $n$ yang dilambangkan dengan $n!$ , adalah produk dari semua bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan $n$ :

n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1\,.

Sebagai contoh,

5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\,.

Nilai 0! adalah 1, menurut konvensi untuk produk kosong.^[1]

Operasi faktorial digunakan sebagai bidang matematika, terutama di kombinatorik, aljabar, dan analisis matematika. Penggunaannya yang paling dasar menghitung kemungkinan urutan dan permutasi dari $n$ yang berada di objekk yang berbeda.

Faktorial pada fungsi juga dapat berupa nilai ke argumen non-bilangan bulat sambil mempertahankan properti terpentingnya dengan cara mendefinisikan $x! = Γ(x + 1)$ , dimana $Γ$ adalah fungsi gamma; ini tidak ditentukan saat $x$ adalah bilangan bulat negatif.

Sejarah

Faktorial digunakan untuk menghitung permutasi setidaknya sejak abad ke-12, oleh para sarjana India.^[2] Pada tahun 1677, Fabian Stedman mendeskripsikan faktorial yang diterapkan pada mengubah dering, seni musik yang melibatkan dering dari banyak lonceng yang disetel.^[3] Setelah menggambarkan pendekatan rekursif, Stedman memberikan pernyataan faktorial (menggunakan bahasa aslinya):

Sekarang sifat dari metode ini adalah sedemikian rupa, sehingga perubahan pada satu angka mencakup [termasuk] perubahan pada semua angka yang lebih kecil ... sedemikian rupa sehingga Peal yang lengkap dari perubahan pada satu nomor tampaknya dibentuk dengan menyatukan Peal yang lengkap pada semua nomor yang lebih kecil menjadi satu keseluruhan tubuh..^[4]

notasi dari $n!$ diperkenalkan oleh matematikawan asal Prancis bernama Christian Kramp pada tahun 1808.^[5]

Pengertian

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:

n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{untuk semua }}n\geq 1.

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk $n\geq 0$

n!={\begin{cases}n\cdot (n-1)!,&{\mbox{untuk }}n\geq 1\\1,&{\mbox{untuk }}n=0.\end{cases}}

Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\,{\frac {n^{n}}{e^{n}}}.

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t

n!=\Gamma (n+1)

Definisi

Fungsi faktorial ditentukan oleh produk, yaitu:

n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n,

diatas merupakan bilangan bulat dari $n \geq 1$ . Ini dapat ditulis dalam notasi perkalian pi sebagai:

n!=\prod _{i=1}^{n}i.

Hal tersebut mengarah menuju relasi pengulangan:

n!=n\cdot (n-1)!.

Sebagai contoh,

{\begin{aligned}5!&=5\cdot 4!\\6!&=6\cdot 5!\\50!&=50\cdot 49!\end{aligned}}

dan seterusnya.

Faktorial nol

Faktorial dari $0$ adalah $1$ , atau dalam simbol, $0! = 1$ .

Ada beberapa motivasi untuk definisi ini:

Untuk nilai $n = 0$ , definisi dari $n!$ sebagai perkalian melibatkan hasil kali tanpa bilangan sama sekali, dan begitu juga contoh dari konvensi yang lebih luas bahwa produk dari tidak ada faktor yang sama dengan identitas perkalian (lihat Produk kosong).
Hanya ada satu permutasi dari nol objek (tanpa ada yang diubah, satu-satunya penataan ulang adalah tidak melakukan apa-apa).
Karena membuat banyak identitas di kombinatorik berlaku untuk semua ukuran yang berlaku. Banyaknya cara untuk memilih 0 elemen dari himpunan kosong diberikan oleh koefisien binomial

{\binom {0}{0}}={\frac {0!}{0!0!}}=1.

Secara lebih umum, jumlah cara untuk memilih semua elemen

n

di antara himpunan

n

adalah

{\binom {n}{n}}={\frac {n!}{n!0!}}=1.

Hal ini memungkinkan untuk ekspresi ringkas dari banyak rumus, seperti fungsi eksponensial, sebagai deret pangkat:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.

Hal ini dapat memperluas hubungan pengulangan ke 0.

Lihat pula

Pranala luar

^ Graham, Knuth & Patashnik 1988, hlm. 111.
^ Biggs, Norman L. (May 1979). "The roots of combinatorics". Historia Mathematica. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0. ISSN 0315-0860.
^ Stedman 1677, hlm. 6–9.
^ Stedman 1677, hlm. 8.
^ Higgins 2008, hlm. 12

[FOOTNOTEGrahamKnuthPatashnik1988111-1] Graham, Knuth & Patashnik 1988, hlm. 111.

[2] Biggs, Norman L. (May 1979). "The roots of combinatorics". Historia Mathematica. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0. ISSN 0315-0860.

[FOOTNOTEStedman16776–9-3] Stedman 1677, hlm. 6–9.

[FOOTNOTEStedman16778-4] Stedman 1677, hlm. 8.

[5] Higgins 2008, hlm. 12

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]