Darab (matematika)

Dalam matematika, Produk adalah hasil dari perkalian, atau ekspresi yang mengidentifikasi faktor yang akan dikalikan. Contohnya, 30 adalah hasil perkalian 6 dan 5 (hasil perkalian), dan $x\cdot (2+x)$ adalah produk dari $x$ dan $(2+x)$ (menunjukkan bahwa kedua faktor harus dikalikan bersama).

Urutan bilangan riil atau bilangan kompleks adalah dikalikan tidak ada hubungannya dengan produk; hal ini dikenal sebagai hukum komutatif pada perkalian. Ketika matriks atau anggota dari berbagai aljabar asosiatif lainnya dikalikan, produk biasanya tergantung pada urutan faktor. Perkalian matriks, contohnya, bersifat non-komutatif, begitu pula perkalian pada aljabar lain pada umumnya.

Ada banyak jenis produk dalam matematika: selain dapat mengalikan hanya bilangan, polinomial atau matriks, seseorang juga dapat mendefinisikan hasil kali pada banyak struktur aljabar yang berbeda.

Hasil perkalian dua angka

Hasil perkalian dua bilangan asli

Menempatkan beberapa batu menjadi pola persegi panjang dengan baris $r$ dan kolom $s$ memberikan

r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ masa}}}=\sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ masa}}}

Pendekatan lain untuk perkalian yang berlaku juga untuk bilangan real adalah dengan terus menerus meregangkan garis bilangan dari $0$ (sehingga $1$ ditarik ke satu Faktor (mathem^{[perlu disambiguasi]}) dan mencari produk, di mana faktor lainnya direntangkan.

Produk dari dua bilangan bulat

Bilangan bulat memungkinkan bilangan positif dan negatif. Produknya ditentukan oleh hasil kali jumlah positifnya, dikombinasikan dengan tanda yang diturunkan dari aturan berikut:

{\begin{array}{|c|c  c|}\hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}

(aturan ini adalah konsekuensi yang diperlukan dari menuntut distributivitas perkalian atas penjumlahan, dan bukan merupakan aturan tambahan.)

Singkatnya, kami memiliki:

Minus kali Minus memberi Plus
Minus kali Plus memberi Minus
Plus kali Minus memberi Minus
Plus kali Plus memberi Plus

Hasil perkalian dua pecahan

Dua pecahan dapat dikalikan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya:

{\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}

Produk dari dua bilangan riil

Untuk definisi yang tepat dari produk dari dua bilangan real lihat Konstruksi bilangan real.

Rumus

Dalil^[1] — menduga $a > 0$ dan $b > 0$ . Bila $1 < p < \infty$ dan $q := p p - 1$ kemudian

ab = min 0 < t < \infty t p a p p + t - q b q q

.

Bukti^[1] —

Tentukan fungsi nilai riil $f$ pada bilangan riil positif dengan

f (t) := t p a p p + t - q b q q

untuk setiap $t > 0$ dan kemudian hitung minimumnya.

Hasil perkalian dua bilangan kompleks

Dua bilangan kompleks dapat dikalikan dengan hukum distributif dan fakta bahwa $i^{2}=-1$ , sebagai berikut:

{\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\cdot c\,i+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}

Arti geometris perkalian kompleks

Bilangan kompleks dapat ditulis dalam koordinat polar:

a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }

Selanjutnya,

c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },

dari mana seseorang memperolehnya

(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.

Arti geometrisnya adalah bahwa besarannya dikalikan dan argumennya ditambahkan.

Produk dari dua angka empat

Produk dari dua quaternions dapat ditemukan dalam artikel di quaternions. Perhatikan, dalam hal ini, itu $a\cdot b$ dan $b\cdot a$ berbeda secara umum.

Produk urutan

Operator perkalian untuk perkalian urutan dilambangkan dengan huruf besar Yunani pi ∏ (dalam analogi penggunaan modal Sigma ∑ sebagai simbol penjumlahan).^[2]^[3] Contohnya ekspresi $\textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}$ is cara lain untuk menulis $1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36$ .^[4]

Produk dari suatu barisan yang hanya terdiri dari satu bilangan hanyalah bilangan itu sendiri; hasil kali tanpa faktor sama sekali dikenal sebagai produk kosong, dan sama dengan 1.

Gelanggang komutatif

Gelanggang komutatif memiliki operasi produk.

Kelas residu dari bilangan bulat

Kelas residu pada gelanggang $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ bisa ditambahkan:

(a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z}

dan dikalikan:

(a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z}

Konvolusi

Dua fungsi dari riil ke dirinya sendiri dapat dikalikan dengan cara lain, yang disebut konvolusi.

Bila

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{dan}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,

kemudian integral

(f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau

didefinisikan dengan baik dan disebut konvolusi.

Di bawah Transformasi Fourier, konvolusi menjadi perkalian fungsi titik-bijaksana.

Gelanggang polinomial

Produk dari dua polinomial diberikan sebagai berikut:

\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}

dengan

c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}

Produk dalam aljabar linier

Ada banyak jenis hasil kali dalam aljabar linear. Beberapa di antaranya memiliki nama yang sangat mirip (produk luar, produk eksterior) dengan arti yang sangat berbeda, sementara yang lain memiliki nama yang sangat berbeda (produk luar, produk tensor, produk Kronecker) namun pada dasarnya menyampaikan ide yang sama. Gambaran singkat tentang ini diberikan di bagian berikut.

Perkalian skalar

Dengan definisi ruang vektor, seseorang dapat membentuk produk dari setiap skalar dengan vektor apapun, memberikan peta $\mathbb {R} \times V\rightarrow V$ .

Produk skalar

Sebuah produk skalar adalah peta bi-linear:

\cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R}

dengan kondisi sebagai berikut $v\cdot v>0$ untuk semua $0\not =v\in V$ .

Dari hasil perkalian skalar, seseorang dapat mendefinisikan sebuah norma dengan membiarkan $\|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}$ .

Produk skalar juga memungkinkan seseorang untuk menentukan sudut antara dua vektor:

\cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}

Dalam ruang Euklides $n$ dimensi, produk skalar standar (disebut produk titik) diberikan oleh:

\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}

Perkalian silang dalam ruang 3 dimensi

Perkalian silang dari dua vektor dalam 3 dimensi adalah vektor tegak lurus kedua faktor, dengan panjang sama dengan luas jajaran genjang yang direntang oleh kedua faktor tersebut.

Perkalian silang juga dapat dinyatakan sebagai formal ^[a] determinan:

\mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}

Komposisi pemetaan linear

Pemetaan linear dapat didefinisikan sebagai fungsi f antara dua ruang vektor V dan W dengan bidang yang mendasari F, memuaskan^[5]

f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .

Bila seseorang hanya mempertimbangkan ruang vektor berdimensi hingga, maka

f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},

in which b_V dan b_W menunjukkan basis dari V dan W, dan v_i menunjukkan komponen dari v on b_Vⁱ, and Konvensi penjumlahan Einstein diterapkan.

Sekarang kita perhatikan komposisi dua pemetaan linier antara ruang vektor berdimensi hingga. Biarkan pemetaan linear f peta V untuk W, dan biarkan pemetaan linier g memetakan W ke U. Kemudian seseorang bisa mendapatkan

g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.

Atau dalam bentuk matriks:

g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,

di mana i - baris, j - elemen kolom dari F, dilambangkan dengan F_ij, is f^j_i, dan G_ij=g^j_i.

Komposisi lebih dari dua pemetaan linear dapat direpresentasikan secara serupa oleh rantai perkalian matriks.

Produk dari dua matriks

Diberikan dua matriks

A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}

dan

B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}

produk mereka diberikan oleh

B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}

Komposisi fungsi linear sebagai hasil perkalian matriks

Ada hubungan antara komposisi fungsi linier dan hasil kali dua matriks. Untuk melihat ini, maka r = dim(U), s = dim(V) dan t = dim(W) menjadi (terbatas) dimensi dari ruang vektor U, V dan W. Mari ${\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}$ menjadi basis dari U, ${\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}$ be a basis of V and ${\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}$ menjadi dasar W. Dalam hal dasar ini, maka $A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}$ menjadi matriks yang mewakili f : U → V and $B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}$ menjadi matriks yang mewakili g : V → W. Then

B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}

adalah matriks yang mewakili $g\circ f:U\rightarrow W$ .

Dengan kata lain: perkalian matriks adalah uraian dalam koordinat dari komposisi fungsi linier.

Hasil kali sensor dari ruang vektor

Diberikan dua ruang vektor berdimensi terbatas V dan W, hasil kali tensornya dapat didefinisikan sebagai (2,0) -tensor yang memuaskan:

V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},

dimana V^* dan W^* menunjukkan spasi ganda dari V dan W.^[6]

Untuk ruang vektor berdimensi tak hingga, satu juga memiliki:

Produk tensor, hasil luar dan produk Kronecker semuanya menyampaikan gagasan umum yang sama. Perbedaan antara ini adalah bahwa produk Kronecker hanyalah produk tensor matriks, sehubungan dengan basis tetap sebelumnya, sedangkan produk tensor biasanya diberikan dalam definisi intrinsik. Hasil kali luar hanyalah hasil kali Kronecker, terbatas pada vektor (bukan matriks).

Kelas semua objek dengan hasil kali tensor

Secara umum, setiap kali seseorang memiliki dua objek matematika yang dapat digabungkan dengan cara yang berperilaku seperti hasil kali tensor aljabar linear, maka ini dapat dipahami secara umum sebagai produk internal dari kategori monoid. Artinya, kategori monoidal menangkap dengan tepat arti dari produk tensor; ini menangkap dengan tepat gagasan mengapa produk tensor berperilaku seperti itu. Lebih tepatnya, kategori monoidal adalah kelas dari semua benda (dari jenis tertentu) yang memiliki perkalian tensor.

Produk lain dalam aljabar linear

Jenis produk lain dalam aljabar linier meliputi:

Produk Kartesius

Dalam teori himpunan, perkalian kartesius adalah operasi matematika yang mengembalikan himpunan (atau himpunan produk) dari beberapa himpunan. Yaitu, untuk himpunan A dan B, produk kartesius A × B adalah himpunan dari semua pasangan terurut (a, b) dimana a ∈ A dan b ∈ B.^[7]

Kelas dari semua benda (dari tipe) tertentu yang memiliki hasilkali Kartesius disebut kategori kartesius. Banyak di antaranya adalah Kategori tertutup kartesius. Himpunan adalah contoh dari objek tersebut.

Lihat pula

Produk tensor Deligne kategori abelian – hasil dari perkalian, atau ekspresi yang mengidentifikasi faktor yang akan dikalikan
Produk tidak terbatas
Produk tak terbatas
Operasi biner berulang – hasil dari perkalian, atau ekspresi yang mengidentifikasi faktor yang akan dikalikan
Perkalian – operasi matematika dan Perkalian, Perkalian, Dengan, Kali, Banyak

Catatan

^ Di sini, "formal" berarti bahwa notasi ini memiliki bentuk determinan, tetapi tidak secara ketat mengikuti definisi; karena itu adalah mnemonik yang digunakan untuk mengingat perluasan produk silang.

Referensi

^ ^a ^b Jarchow 1981, hlm. 47-55.
^ "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-08-16.
^ Weisstein, Eric W. "Product". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-16.
^ "Summation and Product Notation". math.illinoisstate.edu. Diakses tanggal 2020-08-16.
^ Clarke, Francis (2013). Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Dordrecht: Springer. hlm. 9–10. ISBN 1447148207.
^ Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry (edisi ke-2nd). Orlando: Academic Press. hlm. 200. ISBN 0080874398.
^ Moschovakis, Yiannis (2006). Notes on set theory (edisi ke-2nd). New York: Springer. hlm. 13. ISBN 0387316094.

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

[5] Di sini, "formal" berarti bahwa notasi ini memiliki bentuk determinan, tetapi tidak secara ketat mengikuti definisi; karena itu adalah mnemonik yang digunakan untuk mengingat perluasan produk silang.

[FOOTNOTEJarchow198147-55-1] Jarchow 1981, hlm. 47-55.

[2] "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-08-16.

[:0-3] Weisstein, Eric W. "Product". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-16.

[4] "Summation and Product Notation". math.illinoisstate.edu. Diakses tanggal 2020-08-16.

[6] Clarke, Francis (2013). Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Dordrecht: Springer. hlm. 9–10. ISBN 1447148207.

[7] Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry (edisi ke-2nd). Orlando: Academic Press. hlm. 200. ISBN 0080874398.

[8] Moschovakis, Yiannis (2006). Notes on set theory (edisi ke-2nd). New York: Springer. hlm. 13. ISBN 0387316094.

[1]

[2]

[3]

[4]

[a]

[5]

[6]

[7]