Lemma Titu (ditemukan oleh Titu Andreescu, atau dikenal juga lemma T2, bentuk Engel, atau Pertidaksamaan Sedrakyan) menyatakan untuk real positif, kita harus mencari
![{\displaystyle {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ae7ba9fce2bfaa04d4ac0ff77b96803b27d38c)
Konsekuensi dari Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah perolehan setelah menggunakan
dan
Bentuk ini membantu kita saat pertidaksamaan melibatkan pecahan di mana bilangannya adalah kuadrat sempurna.
It then becomes
Definisi
Dari nilai biasa
dan
, yaitu
![{\displaystyle {\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0baa68bc002da98aa08063c77734ec5535d15481)
Bukti
Setelah itu memporoleh dengan menerapkan substitusi
dan
ke dalam Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz.
Setelah itu kemudian menjadi
Aplikasi
- Dalam pengembangan -
Umum
Jika nilai
Rumus diatas adalah Pertidaksamaan Holder
Setelah itu menyederhanakan hasil, yaitu:
Lemma Titu pada Bukti
Lemma Titu, konsekuensi langsung dari Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, menyatakan bahwa untuk setiap urutan
bilangan real
dan sembarang urutan bilangan positif
,
. Kami menggunakan contoh tiga istilahnya dengan
pada urutan
dan
pada urutan
:
![{\displaystyle {\frac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {b^{2}}{b(c+a)}}+{\frac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {(a+b+c)^{2}}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9761fbf5643111567537904b6babf2e8d24685f6)
Dengan mengalikan semua hasil kali di sisi yang lebih kecil dan mengumpulkan suku-suku sejenis, kita memperoleh
![{\displaystyle {\frac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {b^{2}}{b(c+a)}}+{\frac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4066e5bee3eb4f3482c0d81958dc366e35b86d)
yang disederhanakan menjadi
![{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2(ab+bc+ca)}}+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d15148e20ca000f7539792a64f70b5e795842f2)
By the rearrangement inequality, we have
, jadi pecahan di sisi yang lebih kecil harus paling sedikit
. Jadi,
![{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ad3400e459831ddaaa20fd8291a121637a2270)
Lihat pula