Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:
Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan orde atau derajat dari polinomial tersebut.
Grafik polinomial
Sebuah fungsi polinomial dalam satu variabel real dapat dinyatakan dalam grafik fungsi.
Grafik dari polinomial nol
f(x) = 0
adalah sumbu x.
Grafik dari polinomial berderajat nol
f(x) = a0, dimana a0 ≠ 0,
adalah garis horizontal dengan y memotong a0
Grafik dari polinomial berderajat satu (atau fungsi linear)
f(x) = a0 + a1x, dengan a1 ≠ 0,
adalah berupa garis miring dengan y memotong di a0 dengan kemiringan sebesar a1.
Untuk menghitung turunan dan integral dari polinomial tidaklah terlalu sulit. Untuk fungsi polinomial
maka turunan terhadap x adalah
dan integral tak tentu terhadap x adalah
Pembagian Polinomial
Bentuk umum adalah
Keterangan:
F(x): suku banyak (yang dibagi)
P(x): pembagi
H(x): hasil bagi
S(x): sisa
Teorema sisa
Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k).
Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a).
Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah .
Contoh
Berapa sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
F(x - 3) maka F(3)
F(x):
F(3):
pembuktian sesuai dengan di atas:
Suatu F(x) dibagi x - 2 bersisa 4, dibagi x - 3 bersisa 7. suatu G(x) dibagi x - 2 bersisa 3, dibagi x - 3 bersisa 2. Jika maka berapa sisa jika H(x) dibagi ?
karena variabel pembagi derajat dua maka variabel sisa derajat satu yaitu
persamaan pertama
persamaan kedua
dari persamaan pertama dan kedua dihitung menggunakan metode eliminasi maka menjadi a = 2 dan b = 8
jadi sisa tersebut adalah 2x + 8.
Metode
Metode ada 3 jenis yaitu:
Biasa
Contoh
Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
H(x) =
S(x) =
Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
H(x) =
S(x) =
Horner
cara ini dapat digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1.
Cara:
Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)
Contoh: untuk , koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)
Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
Jika pembagi dapat difaktorkan, maka
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1 dan seterusnya
Jika hasil bagi adalah bukan bilangan pecahan maka proses rumus tetap. Contoh:
Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
misalkan P: maka:
P1:
P2:
2
1
1
-9
3
0
2
6
-6
-4
1
3
-3
-3 (S1)
0
-4
4
1
-1
1 (S2)
H(x) =
S(x) = P1.S2 + S1 =
Jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sbb:
posisi suku banyak tidak berubah maka hasil bagi harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya. Contoh
Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
Pilihan A
misalkan P: maka:
P1:
P2:
-3
2
19
33
-26
0
-6
-39
18
1/2
2
13
-6
-8 (S1)
0
1
7
2
14
1 (S2)
H(x) = harus bagi 1/2 menjadi
S(x) = P1.S2 + S1 =
Pilihan B
misalkan P: maka:
P1:
P2:
1/2
2
19
33
-26
0
1
10
43/2
-3
2
20
43
-9/2 (S1)
0
-6
-42
2
14
1 (S2)
H(x) = harus bagi 1/2 menjadi
S(x) = P1 S2 + S1 =
posisi suku banyak dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka sisa harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh
Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
Pilihan A
misalkan P: maka:
P1:
P2:
dibagi 1/2 menjadi
-3
1
19/2
33/2
-13
0
-3
-39/2
9
1/2
1
13/2
-3
-4 (S1)
0
1/2
7/2
1
7
1/2 (S2)
H(x) =
S(x) = P1.S2 + S1 = harus kali 2 menjadi
Pilihan B
misalkan P: maka:
P1:
P2:
dibagi 1/2 menjadi
1/2
1
19/2
33/2
-13
0
1/2
5
43/4
-3
1
10
43/2
-9/4 (S1)
0
-3
-21
1
7
1/2 (S2)
H(x) =
S(x) = P1.S2 + S1 = harus kali 2 menjadi
Koefisien tak tentu
Contoh
Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
maka:
samakan pada koefisien:
Jadi
H(x) = ax + b = x - 1
S(x) = cx + d = x - 5
Berapa hasil dan sisa dari F(x): dibagi dengan P(x): ?
Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
maka:
samakan pada koefisien:
Jadi
H(x) = ax + b = x + 7
S(x) = cx + d = x - 5
Teorema faktor
Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)
Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
Beberapa memungkinkan yang diketahui:
Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1.
Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya:
untuk , faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2
untuk , faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari !
apakah salah satu akarnya adalah 1?
Ya
faktorkan tersebut
1
1
-2
-5
6
0
1
-1
-6
1
-1
-6
0
jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3}
Sifat Akar-akar Suku Banyak
Pada persamaan berderajat 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3
dengan sifat-sifat:
Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a
Pada persamaan berderajat 4:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4
Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …)
Contoh:
Diberikan persamaan dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya!
-3
1
-3
-10
24
0
-3
18
-24
1
-6
8
0
Pembagian istimewa
Ada 3 jenis yaitu:
Jika n adalah bilangan asli maka:
Jika 2n adalah bilangan genap maka:
Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka:
Bacaan lebih lanjut
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3.Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan)(Indonesia)
Pranala luar
Wikimedia Commons memiliki media mengenai Polynomials.
(Inggris)Polynomial Artikel tentang polinomial di Wolfram MathWorld
Artikel bertopik aljabar ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.