Persamaan fungsional Cauchy adalah persamaan fungsional dari kebebasan linear:
![{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y).\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8094a94ae9faa057686edd1c37c8447c235b092)
Solusi untuk ini disebut fungsi aditif. Melalui bilangan rasional, dapat ditunjukkan menggunakan aljabar dasar bahwa terdapat satu kelompok solusi, yaitu
untuk setiap konstanta rasional
. Selama bilangan riil,
, sekarang dengan
konstanta nyata arbitrer, juga sekumpulan solusi; namun ada solusi lain yang sangat rumit. Namun, dari sejumlah kondisi keteraturan, beberapa di antaranya cukup lemah, akan menghalangi adanya solusi patologis ini. Misalnya, fungsi aditif
linier jika:
adalah kontinu (dibuktikan oleh Cauchy pada tahun 1821). Kondisi ini semakin melemah pada tahun 1875 oleh Darboux yang menunjukkan bahwa hanya perlu fungsi tersebut untuk berlanjut pada satu titik.
adalah monotonik pada interval apa pun.
adalah dibatasi pada interval apa pun.
adalah Lebesgue terukur.
Di sisi lain, jika tidak ada kondisi lebih lanjut yang diberlakukan
, kemudian (dengan asumsi aksioma pilihan) ada banyak fungsi lain yang memenuhi persamaan tersebut. Ini dibuktikan pada tahun 1905 oleh Georg Hamel menggunakan basis Hamel. Fungsi semacam itu terkadang disebut Fungsi Hamel.[1]
Masalah kelima pada Daftar Hilbert adalah generalisasi dari persamaan ini. Fungsi di mana terdapat bilangan riil
such that
dikenal sebagai fungsi Cauchy-Hamel dan digunakan dalam invarian Dehn-Hadwiger yang digunakan dalam perluasan masalah ketiga Hilbert dari 3-D ke dimensi yang lebih tinggi.[2]
Solusi atas bilangan rasional
Argumen sederhana, yang hanya melibatkan manipulasi aljabar dasar, menunjukkan bahwa himpunan peta aditif
identik dengan kumpulan peta linier.
Teorema: Karena
menjadi fungsi aditif. Kemudian
adalah linear.
Bukti: Kami ingin membuktikan solusi apa pun
untuk persamaan fungsional Cauchy,
, mengambil bentuknya
. Akan lebih mudah untuk mempertimbangkan kasus-kasus tersebut
.
Kasus I: (
)
Menyetel
, kami menyimpulkan itu
![{\displaystyle f(x)=f(x)+f(0),\quad x\in \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3018d7b2dd83f5cd3d5ee2c433079b7ce1314fe6)
.
Kasus II: (
)
Dengan penerapan berulang dari persamaan Cauchy ke
, kami dapatkan
![{\displaystyle \alpha f\left(x\right)=f\left(\alpha x\right),\quad \alpha \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q} .\quad \quad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd177bb63ac7805cde64f5292a4e6aae629014f8)
Substitusi dari
oleh
dalam (*), dan perkalian hasilnya dengan
, dimana
, yields
![{\displaystyle \beta f\left({\frac {x}{\alpha }}\right)={\frac {\beta }{\alpha }}f\left(x\right),\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q} .\quad \quad (**)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bdec3a3bd76501b92b44e942a8fb918d06fde1)
Penerapan (*) ke sisi kiri (**) lalu memungkinkan
![{\displaystyle f\left({\frac {\beta }{\alpha }}x\right)={\frac {\beta }{\alpha }}f\left(x\right),\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ab9296cf91b921fbca67c55ed4a8d5e521f17f)
![{\displaystyle \Rightarrow f\left(qx\right)=qf\left(x\right),\quad q,x\in \mathbb {Q} ,\ q>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9926b8d28b95a9a5c9ebcea57d250ed1d438b75)
,
dimana
adalah konstanta rasional yang sewenang-wenang.
Kasus III: (
)
Menyetel
dalam persamaan fungsional dan mengingat bahwa
, kita memperoleh
.
Menggabungkan ini dengan kesimpulan yang diambil untuk bilangan rasional positif (`` Kasus II ) memberikan
.
Dipertimbangkan bersama, ketiga kasus di atas memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa solusi lengkap persamaan fungsional Cauchy atas bilangan rasional diberikan oleh:
![{\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} ,\quad q\mapsto cq,\ c=f(1)\in \mathbb {Q} .\quad \quad \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5502f267764a7f91f625824d5a08ddd9c3ee3d)
Properti solusi linier atas bilangan real
Kami membuktikan di bawah bahwa solusi lain harus memiliki fungsi patologis yang tinggi. Khususnya,
kami menunjukkan bahwa solusi lain harus memiliki properti yang grafik
adalah
padat masuk
, yaitu bahwa setiap disk pada bidang (namun
kecil) berisi titik dari grafik. Dari sini mudah untuk membuktikan berbagai kondisi
diberikan di paragraf pengantar.
Misalkan tanpa kehilangan keumuman itu
,
dan
untuk beberapa
.
Kemudian letakkan
.
Kami sekarang menunjukkan bagaimana menemukan titik dalam lingkaran acak, pusat
,
radius
dimana
.
Taruh
dan pilih bilangan rasional
dekat dengan
dengan:
![{\displaystyle \left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1fdfbcc0917095fe3f901bf2eea81ac507c765)
Kemudian pilih bilangan rasional
dekat dengan
dengan:
![{\displaystyle \left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e361f991065cbc7c202532e345095e48b5a2886)
Sekarang taruh:
![{\displaystyle X=x+b(\alpha -a)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3400abdb85bb4048a3e0ce2c940c65a68c31361a)
![{\displaystyle Y=f(X)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b8cf517fa146aafd8a88088166800d8ffc81e6)
Kemudian menggunakan persamaan fungsional, kita dapatkan:
![{\displaystyle Y=f(x+b(\alpha -a))\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec25bb59bb5b33b56dc6bc6cd85bd05931f53f1c)
![{\displaystyle =x+bf(\alpha )-bf(a)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb28386ea626930682424ed66d3d607bc4ef9838)
![{\displaystyle =y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf1ef993c9c1af1ea8fcb0a9469c51e66ab2430)
![{\displaystyle =y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c957bc778127ea94caece9c892f2e7cfdfa21b08)
![{\displaystyle =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b263aa3f4a467c7cd6834a4555c1e119d8174d9)
Karena pilihan kita di atas, titik
ada di dalam lingkaran.
Adanya solusi nonlinear atas bilangan riil
- ^ Kuczma (2009), p.130
- ^ V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington