Persamaan Abel

Artikel ini membahas tentang persamaan fungsional tertentu. Untuk persamaan diferensial biasa yang berbentuk kubik dalam fungsi yang tidak diketahui, lihat Persamaan abel jenis pertama.

Persamaan Abel, dinamai Niels Henrik Abel, adalah sejenis persamaan fungsional yang dapat ditulis dalam bentuk

$f(h(x))=h(x+1)$

atau, setara,

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$

dan mengontrol iterasi f.

Kesetaraan

Persamaan ini ekuivalen. Dengan asumsi bahwa α adalah fungsi invers, persamaan kedua dapat ditulis sebagai

$\alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.$

Pengambilan x = α⁻¹(y), persamaan dapat ditulis sebagai

$f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.$

Untuk fungsi f ( x ) diasumsikan diketahui, tugasnya adalah menyelesaikan persamaan fungsional untuk fungsi tersebut α⁻¹≡h, possibly satisfying additional requirements, such as α⁻¹(0) = 1.

Perubahan variabel s^α(x) = Ψ(x), untuk parameter nyata s, membawa persamaan Abel ke dalam persamaan Schröder terkenal, Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .

The further change F(x) = exp(s^α(x)) into Böttcher's equation, F(f(x)) = F(x)^s.

Persamaan Abel adalah kasus khusus (dan mudah digeneralisasikan menjadi) persamaan translasi,

$\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,$

e.g., for $\omega (x,1)=f(x)$,

$\omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)$.     (Observe ω(x,0) = x.)

Fungsi Abel α(x) selanjutnya menyediakan koordinat kanonik untuk aliran advektif Lie (satu parameter grup Lie).

Lihat pula: Fungsi Iterasi § Properti Abelian dan urutan Iterasi

Sejarah

Awalnya, persamaan dalam bentuk yang lebih umum was reported. Even in the case of a single variable, the equation is non-trivial, and admits special analysis.

Dalam kasus fungsi transfer linier, solusinya dapat diekspresikan dengan kompak.

Kasus khusus

Persamaan tetrasi adalah kasus khusus dari persamaan Abel, dengan f = exp.

Dalam kasus argumen integer, persamaan mengkodekan prosedur berulang, misalnya,

$\alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,$

dan seterusnya,

$\alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.$

Solusi

• solusi formal: unik (menjadi konstanta) (Not sure, because if $u$ is solution, then $v(x)=u(x)+\Omega (u(x))$, where $\Omega (x+1)=\Omega (x)$, is also solution.)
• solusi analitik (koordinat Fatou) = perkiraan oleh ekspansi asimtotik dari fungsi yang ditentukan oleh deret pangkat di sektor sekitar parabola

• Keberadaan: Persamaan Abel memiliki setidaknya satu solusi di $E$ jika dan hanya jika $\forall x\in E,\forall n\in \mathbb {N} ,f^{(n)}(x)\neq x$, dimana $f^{(n)}=f\circ f\circ ...\circ f$, n times.

Koordinat Fatou menggambarkan dinamika lokal dari sistem dinamik diskrit di dekat sebuah titik tetap parabola.

Lihat pula

• Persamaan fungsional
  • Persamaan Schröder
  • Persamaan Böttcher
• Komposisi tak hingga dari fungsi analitik
• Fungsi berulang
• Operator shift
• Superfungsi