Fungsi trigonometri

Dasar trigonometri: jika dua segitiga siku-siku sama dengan sudut lancip, mereka serupa, sehingga panjang sisinya proporsional. Proportionality constants are written within the image: sin θ, cos θ, tan θ, where θ is the common measure of five acute angles.

Fungsi trigonometrik adalah fungsi dari sebuah sudut yang digunakan untuk menghubungkan antara sudut-sudut dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi segitiga tersebut.

Fungsi trigonometrik diringkas di tabel di bawah ini. Sudut $\theta$ adalah sudut yang diapit oleh sisi miring dan sisi samping—sudut A pada gambar di samping, a adalah sisi depan, b adalah sisi samping, dan c adalah sisi miring:

Definisi segitiga siku-siku

Segitiga siku-siku selalu mencakup pada 90° (π2 radian) sudut, hal ini berlabel C. Sudut A dan B dapat bervariasi. Fungsi trigonometri menentukan hubungan antara panjang sisi dan sudut dalam segitiga siku-siku.

Plot dari enam fungsi trigonometri, lingkaran satuan, dan garis untuk sudut θ = 0.7 radian. Poinnya diberikan pada label 1, Sec(θ), Csc(θ) mewakili panjang ruas garis dari titik asal ke titik tersebut. Sin(θ), Tan(θ), dan 1 adalah ketinggian ke garis mulai dari x-sumbu, sementara Cos(θ), 1, dan Cot(θ) adalah panjang di sepanjang x-sumbu dimulai dari asalnya.

Pada bagian tersebut, huruf yang besar dengan bentuk sama menunjukkan titik puncak segitiga dan ukuran sudut yang sesuai; huruf kecil yang sama menunjukkan tepi segitiga dan panjangnya.

Diberikan sudut akut pada nilai A = θ dari sebuah segitiga siku-siku dan sisi miring pada nilai h adalah sisi yang menghubungkan dua sudut lancip. Sisi b berdekatan dengan θ adalah sisi segitiga yang menghubungkan nilai θ ke sudut kanan. Sisi ketiga a dikatakan nilai berlawanan dengan nilai θ.

Jika sudut pada nilai θ akan diberikan nilai maka semua sisi segitiga siku-siku ditentukan dengan baik hingga faktor skala. Hal tersebut berarti bahwa perbandingan dua panjang sisi mana pun hanya bergantung pada θ. Jadi, enam rasio tersebut mendefinisikan enam fungsi pada nilai θ, merupakan salah satu fungsi trigonometri. Lebih tepatnya, enam fungsi trigonometri adalah:

sinus

$\sin \theta ={\frac {a}{h}}={\frac {\mathrm {berlawanan} }{\mathrm {sisi\ miring} }}$

kosinus

$\cos \theta ={\frac {b}{h}}={\frac {\mathrm {sisi\ depan} }{\mathrm {sisi\ miring} }}$

tangen

$\tan \theta ={\frac {a}{b}}={\frac {\mathrm {berlawanan} }{\mathrm {sisi\ depan} }}$

kosekan

$\csc \theta ={\frac {h}{a}}={\frac {\mathrm {sisi\ miring} }{\mathrm {berlawanan} }}$

sekan

$\sec \theta ={\frac {h}{b}}={\frac {\mathrm {sisi\ miring} }{\mathrm {sisi\ depan} }}$

kotangen

$\cot \theta ={\frac {b}{a}}={\frac {\mathrm {sisi\ depan} }{\mathrm {berlawanan} }}$

Dalam segitiga siku-siku, hasil penjumlahan dari dua sudut lancip adalah sudut siku-siku, yaitu 90° atau ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ pada radian.

Ringkasan hubungan antara fungsi trigonometrik

Fungsi	Singkatan	Deskripsi	Hubungan antara trigonometrik
			Menggunakan nilai radian	Menggunakan nilai derajat
sinus	sin	berlawanansisi miring	$\sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}$	$\sin x=\cos \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\csc x}}$
kosinus	cos	sisi depansisi miring	$\cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,$	$\cos x=\sin \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sec x}}\,$
tangen	tan (or tg)	berlawanansisi depan	$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}$	$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=\cot \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cot x}}$
kotangen	cot (or cotan or cotg or ctg or ctn)	sisi depanberlawanan	$\cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}$	$\cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}=\tan \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\tan x}}$
sekan	sec	sisi miringsisi depan	$\sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}$	$\sec x=\csc \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cos x}}$
kosekan	csc (or cosec)	sisi miringberlawanan	$\csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}$	$\csc x=\sec \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sin x}}$

Daftar: Fungsi trigonometrik

Radian versus derajat

Dalam aplikasi geometris, argumen fungsi trigonometri umumnya adalah ukuran pada sudut. Untuk tujuan setiap satuan sudut adalah sudut yang paling sering diukur

Saat menggunakan fungsi trigonometri dalam kalkulus, argumennya umumnya bukan sudut, melainkan bilangan real. Dalam hal ini, lebih cocok untuk mengungkapkan argumen trigonometri pada unit: radian adalah sudut yang membatasi panjang busur 1 di lingkaran unit. Dengan demikian, belokan lengkap adalah sudut dari 2π radian.

Keuntungan besar radian adalah banyak rumus yang jauh lebih sederhana saat menggunakannya, biasanya semua rumus yang berhubungan dengan turunan dan integral.

Definisi lingkaran unit

Dalam ilustrasi ini, enam fungsi trigonometri dari sudut sembarang θ direpresentasikan sebagai koordinat kartesius dari titik-titik yang terkait dengan lingkaran unit. Koordinat dari A, B dan D adalah sin θ, tan θ dan csc θ, masing-masing, sedangkan absis dari A, C dan E adalah cos θ, cot θ dan sec θ, masing-masing.

Enam fungsi trigonometri dapat didefinisikan sebagai nilai koordinat kartesius titik pada bidang Euklides yang terkait dengan lingkaran satuan yang merupakan lingkaran pada jari-jari salah satu yang berpusat di titik asal O dari sistem koordinat tersebut. Sedangkan definisi segitiga siku-siku mengizinkan definisi fungsi trigonometri untuk sudut antara nilai 0 dan ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ radian (90°), definisi lingkaran satuan memungkinkan untuk memperluas domain dari fungsi trigonometri ke semua bilangan real positif dan negatif.

Memutar pada garis ray dari suatu arah setengah positif pada sumbu x dengan suatu sudut θ (berlawanan arah jarum jam pada nilai $\theta >0,$ dan searah jarum jam untuk nilai $\theta <0$) menghasilkan titik potong sinar ini (lihat gambar) dengan unit lingkaran: $\mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} })$, dan, dengan memperluas sinar ke garis jika perlu, dengan line ${\text{“}}x=1{\text{”}}:\;\mathrm {B} =(x_{\mathrm {B} },y_{\mathrm {B} }),$ dan dengan cara garis pada ${\text{“}}y=1{\text{”}}:\;\mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },y_{\mathrm {C} }).$ Garis singgung ke lingkaran satuan pada titik A, yang ortogonal terhadap sinar ini, memotong sumbu ydanx - dalam titik $\mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })$ dan $\mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0)$. Nilai koordinat titik-titik ini memberikan semua nilai yang ada dari fungsi trigonometri untuk nilai riil sembarang θ dengan cara berikut.

Nilai aljabar

Ekspresi aljabar untuk sudut terpenting adalah sebagai berikut:

$\sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$ (sudut lurus)

$\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$

$\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}$

$\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$\sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$ (sudut miring)

Menulis pembilang sebagai akar kuadrat dari bilangan bulat non-negatif berurutan, dengan penyebut 2, memberikan cara mudah untuk mengingat nilai.

Ekspresi sederhana seperti itu umumnya tidak ada untuk sudut lain yang merupakan kelipatan rasional dari sudut lurus. Untuk sudut yang diukur dalam derajat, merupakan kelipatan tiga, sinus dan cosinus dapat dinyatakan dalam akar kuadrat (lihat Konstanta trigonometri dinyatakan dalam radikal nyata). Dengan demikian, nilai-nilai sinus dan kosinus dapat dibangun oleh penggaris dan kompas.

Untuk sudut bilangan bulat derajat sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam akar kuadrat dan akar pangkat tiga dari bilangan kompleks yang tidak nyata. Teori Galois memungkinkan untuk membuktikan bahwa jika sudut tersebut bukan kelipatan 3° dari akar pangkat tiga yang tidak nyata tidak dapat dihindari.

Untuk sudut yang diukur dalam derajat, adalah bilangan rasional, sinus dan kosinus adalah bilangan aljabar, yang dapat diekspresikan dalam istilah n fungsi akar. Hal tersebut dihasilkan dari gugus Galois dari polinomial siklotom adalah gugus siklik.

Untuk sudut yang diukur dalam derajat bukan dari bilangan rasional maka sudut dari sinus dan kosinus keduanya adalah bilangan transendental. Hal tersebut adalah hasil wajar dari Teorema Baker, hal ini dibuktikan pada tahun 1966.

Nilai aljabar sederhana

Tabel berikut merangkum nilai aljabar paling sederhana dari fungsi trigonometri. simbol pada ∞ mewakili titik tak terhingga pada garis nyata yang diperluas secara proyektif; hal ini tidak ditandatangani karena ketika muncul di tabel pada fungsi trigonometri yang sesuai kecenderungan pada nilai +∞ di satu sama lain pada nilai –∞ di sisi lain, ketika argumen nilai kecenderungan pada tabel.

${\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline {\begin{matrix}{\text{Radian}}\\{\text{Sudut}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}0\\0^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{12}}\\15^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{8}}\\22.5^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{6}}\\30^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{4}}\\45^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{3}}\\60^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {3\pi }{8}}\\67.5^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {5\pi }{12}}\\75^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\\90^{\circ }\end{matrix}}\\\hline \sin &0&{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}&{\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}&{\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}&1\\\cos &1&{\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}&{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}&{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}&0\\\tan &0&2-{\sqrt {3}}&{\sqrt {2}}-1&{\frac {\sqrt {3}}{3}}&1&{\sqrt {3}}&{\sqrt {2}}+1&2+{\sqrt {3}}&\infty \\\cot &\infty &2+{\sqrt {3}}&{\sqrt {2}}+1&{\sqrt {3}}&1&{\frac {\sqrt {3}}{3}}&{\sqrt {2}}-1&2-{\sqrt {3}}&0\\\sec &1&{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&{\sqrt {2}}&2&{\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}&{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}&\infty \\\csc &\infty &{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}&2&{\sqrt {2}}&{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&{\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}&1\\\hline \end{array}}$

Dalam kalkulus

Fungsi sinus (biru) sangat dekat dengan fungsi polinomial Taylor derajat 7 (merah muda) untuk siklus penuh yang berpusat pada asal.

Animasi untuk pendekatan kosinus melalui polinomial Taylor.

$\cos(x)$ bersama dengan polinomial Taylor pertama $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$

Fungsi trigonometri adalah terdiferensiasi. Hal ini tidak langsung terbukti dari definisi geometris di atas. Apalagi tren modern dalam matematika. Oleh karena itu, kecuali pada tingkat yang sangat dasar, fungsi trigonometri didefinisikan dengan menggunakan metode kalkulus.

Untuk menentukan fungsi trigonometri di dalam kalkulus, ada dua kemungkinan yang setara, baik menggunakan deret pangkat atau persamaan diferensial. Definisi tersebut setara, karena mulai dari salah satunya, mudah untuk mengambil yang lain sebagai properti. Namun definisi melalui persamaan diferensial entah bagaimana lebih alami, karena, misalnya, pilihan koefisien deret pangkat mungkin tampak cukup sewenang-wenang, dan identitas Pythagoras jauh lebih mudah untuk disimpulkan dari persamaan diferensial.

Definisi dengan persamaan diferensial

Sinus dan kosinus adalah fungsi terdiferensiasi yang unik sedemikian rupa, yaitu

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin x&=\cos x,\\{\frac {d}{dx}}\cos x&=-\sin x,\\\sin 0&=0,\\\cos 0&=1.\end{aligned}}$

Diferensialkan persamaan tersebut agar orang mengetahui bahwa sinus dan kosinus adalah solusi dari persamaan diferensial

$y''+y=0.$

Menerapkan aturan hasil bagi ke definisi garis singgung sebagai hasil bagi dari sinus oleh kosinus, kita dapat mengetahui bahwa fungsi tangen memverifikasi

${\frac {d}{dx}}\tan x=1+\tan ^{2}x.$

Ekspansi deret pangkat

Menerapkan persamaan diferensial ke deret pangkat dengan koefisien tak tentu, seseorang dapat menyimpulkan relasi pengulangan s untuk koefisien deret Taylor dari sinus dan kosinus fungsi. Relasi pengulangan tersebut mudah terpecahkan dan memberikan perluasan rangkaian

${\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}$

Radius konvergensi dari deret tersebut tidak terbatas. Oleh karena itu, sinus dan kosinus dapat diperpanjang hingga seluruh fungsi (hal ini juga disebut "sinus" dan "kosinus"), yang (menurut definisi) fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan dan holomorfik di seluruh bidang kompleks.

Mendefinisikan sebagai pecahan dari seluruh fungsi, fungsi trigonometri lainnya dapat diperluas menjadi fungsi meromorfik, yaitu fungsi yang holomorfik di seluruh bidang kompleks, kecuali beberapa titik terisolasi yang disebut kutub. ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$ untuk garis singgung dan garis potong atau nilai $k\pi$ untuk kotangen dan kosekan, dengan k adalah bilangan bulat arbitrer.

Relasi pengulangan juga dapat dihitung untuk koefisien deret Taylor dari fungsi trigonometri lainnya. Deret ini memiliki konfergensi radius yang terbatas. Koefisien mereka memiliki interpretasi kombinatorial: mereka menghitung permutasi bergantian dari himpunan hingga.

Lebih tepatnya anda dapat mendefinisikan, yaitu

U_n, n adalah angka atas/bawah,

B_n, n nomor Bernoulli, dan

E_n, adalah n nomor Euler,

satu memiliki ekspansi seri berikut:

${\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\csc x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cot x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}$

Terdapat representasi deret sebagai ekspansi pecahan parsial yang baru saja diterjemahkan dari fungsi timbal balik dijumlahkan, sehingga pole dari fungsi kotangen dan fungsi timbal balik cocok:

$\pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.$

This identity can be proven with the Herglotz trick. Menggabungkan nilai (–n) ke nilai nistilah tersebut mengarah pada rangkaian konvergen, yaitu:

$\pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}\ ,\quad {\frac {\pi }{\sin \pi x}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}}.$

Ekspansi produk tanpa batas

Produk tak terbatas berikut untuk sinus sangat penting dalam analisis kompleks, yaitu:

$\sin z=z\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .$

Untuk bukti pemuaian (lihat Sinus). Dari sini, dapat disimpulkan bahwa

$\cos z=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .$

Hubungan dengan fungsi eksponensial (Rumus Euler)

$\cos(\theta )$ dan $\sin(\theta )$ adalah bagian nyata dan imajiner pada nilai $e^{i\theta }$.

Rumus Euler menghubungkan sinus dan kosinus dengan fungsi eksponensial:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

Rumus ini biasanya dianggap untuk nilai nyata dari x, tetapi tetap benar untuk semua nilai kompleks.

Bukti: Jika nilai $f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,$ dan $f_{2}(x)=e^{ix}.$ dan memiliki nilai ${\textstyle {\frac {d}{dx}}f_{j}(x)=if_{j}(x)}$ dari j = 1, 2. Aturan hasil bagi menyiratkan demikian ${\textstyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {f_{1}(x)}{f_{2}(x)}}\right)=0}$. Karena itu, ${\textstyle {\frac {f_{1}(x)}{f_{2}(x)}}}$ adalah fungsi konstan yang sama pada nilai 1, sebagai nilai $f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.$ Hal ini membuktikan rumusnya.

Hal ini memiliki rumus:

${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}$

Memecahkan sistem linier tersebut dalam sinus dan kosinus, seseorang dapat mengekspresikannya dalam fungsi eksponensial:

${\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}$

Darimana nilai x adalah bilangan real, hal ini dapat ditulis ulang sebagai

$\cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).$

Sebagian besar identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan menyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk eksponensial kompleks berfungsi dengan menggunakan rumus di atas, dan kemudian menggunakan identitas $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ untuk menyederhanakan hasil.

Definisi menggunakan persamaan fungsional

Fungsi trigonometri dapat didefinisikan dengan menggunakan berbagai persamaan fungsional.

Sebagai contoh, sinus dan kosinus membentuk pasangan unik fungsi kontinu s yang memenuhi rumus selisih

$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,$

and the added condition

$0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ dari }}\quad 0<x<1.$

Di bidang kompleks

Sinus dan kosinus dari sebuah bilangan kompleks $z=x+iy$ dapat diekspresikan dalam bentuk sinus, kosinus, dan fungsi hiperbolik nyata sebagai berikut:

${\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}$

Dengan memanfaatkan pewarnaan domain, dimungkinkan untuk membuat grafik fungsi trigonometri sebagai fungsi bernilai kompleks. Berbagai fitur unik untuk fungsi kompleks dapat dilihat dari grafik; misalnya, fungsi sinus dan cosinus dapat dilihat tidak terbatas sebagai bagian imajiner nilai $z$ menjadi lebih besar (karena warna putih mewakili tak terhingga), dan fakta bahwa fungsi berisi nilai nol atau kutub terlihat dari fakta bahwa siklus warna mengelilingi masing-masing fungsi. Membandingkan grafik tersebut dengan cara grafik dari fungsi Hiperbolik yang sesuai akan menyoroti hubungan antara keduanya.

Fungsi trigonometri dalam bidang kompleks

$\sin z\,$	$\cos z\,$	$\tan z\,$	$\cot z\,$	$\sec z\,$	$\csc z\,$

Identitas dasar

Identitas yang berhubungan dengan fungsi trigonometri merupakan bagian dari dasar untuk lebih banyak identitas (lihat Daftar identitas trigonometri). Identitas tersebut dapat dibuktikan secara geometris dari definisi lingkaran satuan atau definisi segitiga siku-siku (meskipun untuk definisi yang terakhir hati-hati anda harus diberikan untuk sudut yang tidak dalam interval [0, π/2], lihat Bukti identitas trigonometri). Untuk pembuktian non-geometris yang hanya menggunakan perkakas kalkulus, seseorang dapat menggunakan persamaan diferensial secara langsung, dengan cara yang mirip dengan bukti identitas Euler. Anda juga dapat menggunakan identitas Euler untuk mengekspresikan semua fungsi trigonometri dalam istilah eksponensial kompleks dan menggunakan properti fungsi eksponensial.

Keseimbangan

Kosinus dan garis potongan adalah fungsi genap; fungsi trigonometri lainnya adalah fungsi ganjil. Rumus nya adalah:

${\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}$

Periode

Semua fungsi trigonometri adalah fungsi periodik periode 2π. Ini adalah periode terkecil, kecuali untuk tangen dan kotangen, yang memiliki nilai π sebagai periode terkecil. Artinya, untuk setiap bilangan bulat k, satu memiliki

${\begin{aligned}\sin(x+2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+k\pi )&=\tan x\\\cot(x+k\pi )&=\cot x\\\csc(x+2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+2k\pi )&=\sec x.\end{aligned}}$

Identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras, adalah ekspresi dari Teorema Pythagoras dalam hal fungsi trigonometri. ini

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.$

Rumus penjumlahan dan perbedaan

Rumus penjumlahan dan perbedaan memungkinkan perluasan sinus, kosinus, dan garis singgung penjumlahan atau selisih dua sudut dalam kaitannya dengan sinus dan cosinus serta garis singgung dari sudut itu sendiri. Ini dapat diturunkan secara geometris, menggunakan argumen yang berasal dari Ptolemy. Seseorang juga dapat memproduksinya secara aljabar menggunakan rumus Euler.

Jumlah

${\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}$

Perbedaan

${\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}$

Ketika dua sudut sama, rumus penjumlahan disederhanakan menjadi persamaan yang lebih sederhana yang dikenal sebagai rumus sudut ganda.

${\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}$

Identitas ini dapat digunakan untuk mendapatkan Indentitas produk ke deret.

${\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}$

Together with

$d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,$

Rumus tersebut adalah substitusi setengah sudut tangen, yang memungkinkan pengurangan komputasi integral s dan antiturunan fungsi trigonometri menjadi pecahan rasional.

Turunan dan antiturunan

Turunan fungsi trigonometri dihasilkan dari fungsi sinus dan kosinus dengan menerapkan aturan hasil bagi. Nilai yang diberikan untuk antiderivatif dalam tabel berikut dapat diverifikasi dengan membedakannya. Angka pada C adalah konstanta integrasi.

${\begin{array}{|c|c|c|}\hline f(x)&f'(x)&\int f(x)\,dx\\\hline \sin x&\cos x&-\cos x+C\\\cos x&-\sin x&\sin x+C\\\tan x&\sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x&-\ln \left(|\cos x|\right)+C\\\cot x&-\csc ^{2}x=-(1+\cot ^{2}x)&\ln \left(|\sin x|\right)+C\\\sec x&\sec x\tan x&\ln \left(|\sec x+\tan x|\right)+C\\\csc x&-\csc x\cot x&-\ln \left(|\csc x+\cot x|\right)+C\\\hline \end{array}}$

Fungsi invers

Artikel utama: Fungsi trigonometri invers

Fungsi trigonometri bersifat periodik, dan karenanya bukan injeksi, jadi tegaskan pada nilai yang tidak memiliki fungsi terbalik. Namun, pada setiap interval di mana fungsi trigonometri monotonik, seseorang dapat mendefinisikan fungsi invers, dan ini mendefinisikan fungsi trigonometri terbalik sebagai fungsi multinilai. Untuk mendefinisikan fungsi invers yang benar, seseorang harus membatasi domain ke interval di mana fungsinya monotonik, dan dengan demikian bijective dari interval ini ke citranya dengan fungsi. Pilihan umum untuk interval ini, yang disebut himpunan nilai pokok s, diberikan dalam tabel berikut. Seperti biasa, fungsi trigonometri terbalik dilambangkan dengan awalan "arc" sebelum nama atau singkatan dari fungsi tersebut.

${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{Fungsi}}&{\text{Definisi}}&{\text{Domain}}&{\text{Kumpulan nilai pokok}}\\\hline y=\arcsin x&\sin y=x&-1\leq x\leq 1&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\\y=\arccos x&\cos y=x&-1\leq x\leq 1&0\leq y\leq \pi \\y=\arctan x&\tan y=x&-\infty \leq x\leq \infty &-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}\\y=\operatorname {arccot} x&\cot y=x&-\infty \leq x\leq \infty &0<y<\pi \\y=\operatorname {arcsec} x&\sec y=x&x<-1{\text{ atau }}x>1&0\leq y\leq \pi ,\;y\neq {\frac {\pi }{2}}\\y=\operatorname {arccsc} x&\csc y=x&x<-1{\text{ atau }}x>1&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0\\\hline \end{array}}$

Aplikasi

Artikel utama: Penggunaan trigonometri

Sudut dan sisi segitiga

Di bagian ini A, B, C menunjukkan tiga sudut (interior) segitiga, dan a, b, c menunjukkan panjang masing-masing sisi berlawanan. Mereka terkait dengan berbagai rumus, yang dinamai dengan fungsi trigonometri yang terlibat.

Hukum sinus

'Hukum sinus' menyatakan bahwa untuk segitiga sembarang dengan sisi a, b, dan c dan sudut berlawanan dengan itu sisi A, B dan C:

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},$

dimana Δ adalah luas segitiga, atau, setara,

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,$

di mana R adalah sirkitradius segitiga.

Hal ini dapat dibuktikan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga kanan dan menggunakan definisi sinus di atas. Hukum sinus berguna untuk menghitung panjang sisi-sisi yang tidak diketahui dalam sebuah segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi. Ini adalah situasi umum yang terjadi di triangulasi, teknik untuk menentukan jarak yang tidak diketahui dengan mengukur dua sudut dan jarak tertutup yang dapat diakses.

Hukum kosinus

Hukum kosinus (juga dikenal sebagai rumus kosinus atau aturan kosinus) adalah perpanjangan dari Teorema Pythagoras:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,$

or equivalently,

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.$

Dalam rumus ini sudut di C berlawanan dengan sisi c. Teorema ini dapat dibuktikan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan Teorema Pythagoras.

Hukum cosinus dapat digunakan untuk menentukan sisi segitiga jika dua sisi dan sudut di antara keduanya diketahui. Ini juga dapat digunakan untuk mencari cosinus suatu sudut (dan akibatnya sudut itu sendiri) jika panjang semua sisinya diketahui.

Hukum garis singgung

Artikel utama: Hukum garis singgung

Berikut semua bentuk hukum garis singgung

${\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}\,;\qquad {\frac {\tan {\frac {A-C}{2}}}{\tan {\frac {A+C}{2}}}}={\frac {a-c}{a+c}}\,;\qquad {\frac {\tan {\frac {B-C}{2}}}{\tan {\frac {B+C}{2}}}}={\frac {b-c}{b+c}}.$

Penjelasan rumus dalam kata-kata akan merepotkan, tetapi pola penjumlahan dan perbedaan, untuk panjang dan sudut yang berlawanan, tampak jelas dalam teorema.

Hukum kotangen

Artikel utama: Hukum kotangen

Bila

$\zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}~$ (the radius of the inscribed circle for the triangle)

dan

$s={\frac {a+b+c}{2}}~$ (the semi-perimeter for the triangle),

maka berikut ini semua bentuk hukum kotangen

$\cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}~;\qquad \cot {\frac {B}{2}}={\frac {s-b}{\zeta }}~;\qquad \cot {\frac {C}{2}}={\frac {s-c}{\zeta }}~.$

Jadi mengikuti nilai

${\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}={\frac {1}{\zeta }}~.$

Dengan kata lain, teorema tersebut adalah: kotangen setengah sudut sama dengan rasio keliling setengah dikurangi sisi yang berlawanan dengan sudut tersebut, dengan inradius untuk segitiga.

A kurva Lissajous, sebuah gambar yang dibentuk dengan fungsi berbasis trigonometri.

Fungsi periodik

Animasi sintesis aditif dari gelombang persegi dengan peningkatan jumlah harmonisa

Fungsi dasar sinusoidal (bawah) dapat membentuk gelombang gigi gergaji (atas) bila ditambahkan. Semua fungsi dasar memiliki simpul di simpul gigi gergaji, dan semuanya kecuali yang mendasar (k = 1) memiliki node tambahan. Osilasi yang terlihat pada gigi gergaji saat k besar disebut fenomena Gibbs

Fungsi trigonometri juga penting dalam fisika. Fungsi sinus dan cosinus, misalnya, digunakan untuk mendeskripsikan gerak harmonik sederhana, yang memodelkan banyak fenomena alam, seperti gerakan massa yang menempel pada pegas dan, untuk sudut kecil, gerakan pendular dari massa yang digantung oleh seutas tali. Fungsi sinus dan kosinus adalah proyeksi satu dimensi dari gerakan melingkar seragam.

Fungsi trigonometri juga terbukti berguna dalam studi umum fungsi periodik. Pola gelombang karakteristik dari fungsi periodik berguna untuk memodelkan fenomena yang berulang seperti suara atau cahaya gelombang.

Dalam kondisi yang agak umum, fungsi periodik f(x) dapat dinyatakan sebagai jumlah gelombang sinus atau gelombang kosinus dalam deret Fourier. Menunjukkan sinus atau cosinus fungsi basis dengan φ_k, perluasan fungsi periodik f (t) mengambil bentuk:

$f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).$

Misalnya, gelombang persegi dapat ditulis sebagai deret Fourier

$f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.$

Pada animasi gelombang persegi di kanan atas terlihat bahwa hanya beberapa suku saja yang sudah menghasilkan aproksimasi yang cukup baik. Superposisi beberapa istilah dalam perluasan gelombang gigi gergaji ditampilkan di bawah ini.

Lihat juga

• Templat:Daftar matematika