Transpos

Dalam aljabar linear, transpose dari sebuah matriks adalah operator yang membalikkan posisi matriks sepanjang diagonal utamanya; dengan kata lain, operator ini menukar setiap baris dan kolom pada matriks $A$ , menjadi kolom dan baris matriks baru, yang umum dikenal sebagai $A T$ .^[1]^[2] Transpose dari sebuah matriks diperkenalkan pada tahun 1858 oleh matematikawan Inggris Arthur Cayley.^[3]

Transpose dari sebuah matriks

Definisi

Transpose dari sebuah matriks $A$ , yang dinyatakan sebagai $A T$ ,^[1]^[4] $⊤ A$ , $A ⊤$ , $A^{\intercal }$ ,^[5]^[6] $A'$ ,^[7] $A tr$ , $t A$ , atau $A t$ , dapat dibentuk dengan tiga cara berikut:

Merefleksikan $A$ sepanjang diagonal utamanya untuk mendapatkan $A T$ ;
Menulis setiap baris dari $A$ sebagai kolom dari $A T$ ;
Menulis setiap kolom dari $A$ sebagai baris dari $A T$ .

Secara lebih formal, elemen baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ dari $A T$ adalah elemen baris ke- $j$ dan kolom ke- $i$ dari $A$ :

\left[\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.

Jika $A$ adalah matriks berukuran $m \times n$ , maka matriks $A T$ berukuran $n \times m$ .

Untuk kasus matriks persegi, notasi $A T$ juga dapat menyatakan pangkat $T$ dari matriks $A$ . Untuk menghindari kerancuan ini, banyak penulis menggunakan tika atas kiri, yakni, mereka menulis transpose sebagai $T A$ . Notasi ini menguntungkan karena tanda kurung tidak diperlukan untuk operasi yang melibatkan perpangkatan, karena $(T A) n = T (A n)$ : menulis $T A n$ tidak menimbulkan kerancuan.

Artikel ini menghindari kerancuan tersebut dengan tidak pernah menggunakan simbol $T$ sebagai nama variabel.

Terdapat beberapa definisi matriks yang melibatkan transpose:


Nama matriks	Kondisi	Definisi
Simetrik	$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A}$	Matriks persegi dengan hasil transposenya berupa dirinya sendiri
Skew-symmetric	$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-\mathbf {A}$	Matriks persegi dengan hasil transposenya sama dengan negatif dari dirinya sendiri
Hermitian	$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} }}$	Matriks persegi dengan setiap elemen hasil transposenya adalah konjugat kompleks dari elemen pada posisi yang sama. Hal ini sama dengan mengatakan matriks persegi tersebut sama dengan transpose konjugatnya.
Ortogonal	$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{-1}$	Matriks persegi dengan hasil transposenya sama dengan invers dirinya sendiri
Uniter	$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{-1}}}$	Matriks persegi dengan hasil transposenya sama dengan invers konjugat dari dirinya sendiri.

Contoh

${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

Hasil kali

Jika matriks $A$ berukuran $m \times n$ dan $A T$ adalah transposenya, maka hasil perkalian matriks antara keduanya menghasilkan dua matriks persegi: $A A T$ yang berukuran $m \times m$ dan $A T A$ yang berukuran $n \times n$ . Lebih lanjut, kedua matriks ini simetrik. Elemen-elemen pada hasil perkalian matriks $A A T$ adalah hasil kali dalam baris dari $A$ dengan kolom dari $A T$ . Namun karena kolom pada $A T$ adalah baris pada $A$ , setiap elemen di $A A T$ adalah hasil kali dalam dua baris matriks $A$ . Jika $p i j$ adalah elemen di matriks hasil perkalian, nilainya berasal dari baris ke- $i$ dan ke- $j$ di $A$ . Nilai elemen $p j i$ juga didapatkan dari kedua baris yang sama, sehingga $p i j = p j i$ , dan menyebabkan $A A T$ simetrik. Dengan alasan yang serupa, hasil perkalian $A T A$ juga matriks simetrik.

Bukti yang lebih cepat mengenai kesimetrisan matriks $A A T$ didapatkan dari fakta transpose matriks tersebut adalah dirinya sendiri:

\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.

^[8]

Implementasi transpose matriks di komputer

Di komputer, kita dapat menghindari melakukan transpose matriks secara eksplisit di memori cukup dengan mengakses data dalam urutan yang berbeda. Sebagai contoh, pustaka untuk aljabar linear, seperti BLAS, umumnya menyediakan pilihan untuk menyatakan sebuah matriks perlu dibaca dalam urutan operasi transpose, untuk menghindari perpindahan data yang tidak diperlukan.

Namun, ada beberapa keadaan yang mengharuskan atau menguntungkan untuk melakukan transpose matriks secara eksplisit di memori. Sebagai contoh, matriks yang disimpan dalam row-major order, memiliki baris matriks yang contiguous di memori, namun kolom matriksnya tidak. Jika matriks banyak melakukan operasi yang melibat kolom-kolom, sebagai contoh algoritme transformasi Fourier cepat, melakukan transpose matriks agar kolom-kolomnya contiguous mungkin dapat meningkatkan peformanya karena memory locality yang tinggi.

Idealnya, kita mengharapkan operasi transpose dilakukan dengan menggunakan penyimpanan sementara yang sedikit. Hal ini berujung pada permasalahan melakukan transpose matriks berukuran n × m in-place, dengan O(1) penyimpanan sementara yang jauh lebih kecil daripada mn. Pada kasus n ≠ m, hal ini melibatkan permutasi elemen-elemen matriks yang rumit dan tidak mudah diterapkan secara in-place. Karena hal itu, metode transpose matriks in-place yang efisien banyak diteliti pada bidang ilmu komputer mulai pada akhir tahun 1950-an. Beberapa algoritme telah dikembangkan dalam hal tersebut.

Referensi

^ ^a ^b "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-09-08.
^ Nykamp, Duane. "The transpose of a matrix". Math Insight. Diakses tanggal September 8, 2020.
^ Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17–37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.
^ T.A. Whitelaw (1 April 1991). Introduction to Linear Algebra, 2nd edition. CRC Press. ISBN 978-0-7514-0159-2.
^ "Transpose of a Matrix Product (ProofWiki)". ProofWiki. Diakses tanggal 4 Feb 2021.
^ "What is the best symbol for vector/matrix transpose?". Stack Exchange. Diakses tanggal 4 Feb 2021.
^ Weisstein, Eric W. "Transpose". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-08.
^ Gilbert Strang (2006) Linear Algebra and its Applications 4th edition, page 51, Thomson Brooks/Cole ISBN 0-03-010567-6

Daftar pustaka

Templat:Bourbaki Algebra I Chapters 1-3 Springer

Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3 .
Maruskin, Jared M. (2012). Essential Linear Algebra. San José: Solar Crest. hlm. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6.
Templat:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
Templat:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
Schwartz, Jacob T. (2001). Introduction to Matrices and Vectors. Mineola: Dover. hlm. 126–132. ISBN 0-486-42000-0.

Pranala luar

Gilbert Strang (Spring 2010) Linear Algebra from MIT Open Courseware

Templat:Linear algebra Templat:Tensors

[:02-1] "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-09-08.

[2] Nykamp, Duane. "The transpose of a matrix". Math Insight. Diakses tanggal September 8, 2020.

[3] Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17–37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.

[Whitelaw19912-4] T.A. Whitelaw (1 April 1991). Introduction to Linear Algebra, 2nd edition. CRC Press. ISBN 978-0-7514-0159-2.

[5] "Transpose of a Matrix Product (ProofWiki)". ProofWiki. Diakses tanggal 4 Feb 2021.

[6] "What is the best symbol for vector/matrix transpose?". Stack Exchange. Diakses tanggal 4 Feb 2021.

[7] Weisstein, Eric W. "Transpose". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-08.

[8] Gilbert Strang (2006) Linear Algebra and its Applications 4th edition, page 51, Thomson Brooks/Cole ISBN 0-03-010567-6

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]