Metode integrasi numerik

Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang lazim digunakan :

Metoda EULER Eksplisit

Metoda ini merupakan metoda integrasi yang paling mudah ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$ $x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}$

Metoda HEUN

Algoritma integrasi Heun memerlukan dua masukan yaitu $u_{k}$ dan $u_{k-1}$ ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$

$x_{k}^{p}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}$ ${\dot {x}}_{k}^{p}=f(x_{k}^{p},u_{k})$

$x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k-1}+{\dot {x}}_{k}^{p})$

Metoda Runge-Kutta

Metoda Runge-Kutta merupakan integrator dengan empat masukan.

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$

$x_{k-0.5}^{p1}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-1}$ ${\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}=f(x_{k-0.5}^{p1},u_{k-0.5})$

$x_{k-0.5}^{p2}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}$ ${\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}=f(x_{k-0.5}^{p2},u_{k-0.5})$

$x_{k}^{p3}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}$ ${\dot {x}}_{k}^{p3}=f(x_{k}^{p3},u_{k})$

$x_{k}=x_{k-1}+{h \over 6}({\dot {x}}_{k-1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}+{\dot {x}}_{k}^{p3})$

Metoda EULER Implisit

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k}$

Pada metoda integrasi implisit nilai aktual $x_{k}$ juga digunakan sebagai umpan balik. Umpan balik ini dapat menyebabkan terjadinya lingkaran aljabar. Untuk menghindarinya maka bentuk persamaan diubah menjadi seperti ini

${\dot {x}}_{k}=Ax_{k-1}+Bu_{k}=f(x_{k-1},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+h[I-hJ]^{-1}{\dot {x}}_{k}$

J adalah matrix Jacobi. Pada sistem linear dan invarian terhadap waktu, maka matrix J = A

Metoda Trapesium (Trapez)

Metoda Trapesium merupakan nilai tengah dari metoda Euler eksplisit dan metoda Euler implisit.

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$ ${\dot {x}}_{k}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k}+{\dot {x}}_{k+1})$

Sama halnya dengan metoda EULER implisit, metoda ini dapat menyebabkan lingkaran aljabar. Oleh karena itu, bentuk persamaan ini diubah menjadi seperti ini

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+{B \over 2}(u_{k-1}+u_{k})=f(x_{k-1},u_{k-1},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+h[I-{h \over 2}J]^{-1}{\dot {x}}_{k}$