Lapangan (matematika)

Medan atau lapangan dalam matematika adalah suatu struktur aljabar dengan gagasan seperti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang memenuhi aksioma tertentu. Medan yang paling sering dipakai adalah medan bilangan riil, medan bilangan kompleks dan bilangan rasional.

Definisi

Contoh sebuah medan adalah himpunan bilangan rasional Q. Dalam Q terdapat empat operasi dasar: penambahan bersama dengan pengurangan, dan penjumlahan dengan pembagian. Secara intuitif, suatu medan adalah himpunan bilangan yang memiliki empat operasi seperti itu. Agar memenuhi syarat sebagai medan, operasi-operasi tersebut harus memenuhi aksioma tertentu.

Sebuah medan atau lapangan adalah sebuah himpunan, misalkan dinamakan F, bersama dengan dua operasi biner, yang biasanya dinamakan sebagai penambahan dan perkalian, masing-masing dilambangkan sebagai + dan ., sehingga aksioma berikut berlaku:

Tertutup di bawah penambahan dan perkalian

Untuk semua a, b anggota F, baik a + b dan a · b are in F (atau, dengan rumusan lebih formal, + dan . adalah operasi biner terhadap F).

Sifat asosiatif penambahan dan perkalian

Untuk semua a, b, and c dalam F, persamaan berikut berlaku:

a + (b + c) = (a + b) + c dan a · (b · c) = (a · b) · c.

Sifat komutatif penjumlahan dan perkalian

Untuk semua a dan b dalam F, kesamaan berikut berlaku:

a + b = b + a dan a · b = b · a.

Unsur identitas dalam penambahan dan perkalian

Terdapat anggota atau unsur F, yang dinamakan unsur identitas penambahan yang dilambangkan sebagai 0, sehingga untuk semua a dalam F,

a + 0 = a. Begitu pula, terdapat anggota, yang dinamakan sebagai unsur identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1, sehingga untuk semua a dalam F, a · 1 = a. Unsur identitas penambahan dan perkalian disyaratkan berbeda, untuk alasan teknis.

Invers penambahan dan perkalian

Untuk setiap a dalam F, terdapat sebuah anggota, -a dalam F, sehingga

a + (−a) = 0. Dengan cara yang sama, untuk setiap a dalam F selain 0, terdapat anggota a⁻¹ in F,sehingga a · a⁻¹ = 1. (Unsur a + (−b) dan a · b⁻¹ masing-masing dinamakan a − b and a/b, respectively.) Dengan kata lain, terdapat operasi pengurangan dan pembagian.

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Untuk semua a, b dan c dalam F, kesamaan berikut berlakui:

a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Pranala luar

• (Inggris)Field Theory Q&A
• (Inggris)Fields at ProvenMath definition and basic properties.
• (Inggris)Field, PlanetMath.org.