Batas klasik

Batas klasik atau batas korespondensi adalah kemampuan teori fisika untuk memperkirakan atau memperbaiki mekanika klasik ketika mempertimbangkan suatu nilai khusus dari parameter-parameter di dalamnya.^[1] Batas klasik digunakan bersamaan dengan teori fisika untuk memperkirakan perilaku non-klasik.

Teori kuantum

Sebuah postulat heuristik bernama prinsip korespondensi diperkenalkan melalui teori kuantum oleh Niels Bohr, yang menyatakan bahwa terdapat suatu argumen kontinuitas yang memenuhi batas klasik dari sistem kuantum, mengingat nilai konstanta Planck yang dinormalisasi melalui aksi sistem tersebut menjadi sangat kecil.^[2]

Lebih tepatnya,^[3] operasi matematika yang terlibat dalam batasan klasik adalah kontraksi kelompok, mendekati sistem fisik di mana tindakan yang relevan jauh lebih besar daripada konstanta Planck $ħ$ , sehingga "parameter deformasi" $ħ$ / $S$ dapat secara efektif dianggap nol.

Dalam mekanika kuantum, melalui prinsip ketidakpastian Heisenberg, sebuah elektron tidak akan pernah diam; karena selalu menyimpan energi kinetik. Hal ini tentunya tidak ditemukan dalam mekanika klasik. Sebagai contoh, jika kita menganggap sesuatu yang sangat besar dibandingkan elektron, misalnya bola kasti, prinsip ketidakpastian memperkirakan bahwa materi tersebut belum pasti tak memiliki energi kinetik sama sekali, tetapi ketidakpastian dalam energi kinetiknya sangat kecil sehingga bola kasti tersebut bisa dianggap diam dan memenuhi prinsip mekanika klasik. Secara umum, jika terdapat energi besar dan objek besar (relatif terhadap ukuran dan tingkat energi elektron) dianggap dalam mekanika kuantum, dan hasilnya akan terlihat memenuhi mekanika klasik.

Mekanika kuantum dan mekanika klasik biasanya diperlakukan berbeda. Teori kuantum menggunakan ruang Hilbert, sedangkan mekanika klasik menggunakan ruang fase. Dalam formulasi ruang fase di mekanika kuantum, yang secara alamiah bersifat statistik, hubungan logis antara mekanika kuantum dan mekanika statistik klasik dibuat dengan mengadakan perbandingan alami di antara keduanya, termasuk pelanggaran teorema Liouville saat kuantisasi.^[4]^[5]

Evolusi waktu dari nilai perkiraan

Salah satu cara sederhana untuk membandingkan mekanika klasik ke kuantum adalah dengan menganggap evolusi waktu dari posisi dan momentum perkiraan, yang kemudian bisa dibandingkan ke evolusi waktu dari posisi dan momentum biasa di mekanika klasik. Perkiraan kuantum, nilainya akan memenuhi teorema Ehrenfest. Untuk kuantum satu dimensi bergerak dengan potensial V, teorema Ehrenfest menyatakan bahwa^[6]

$m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .$

Meskipun bagian pertama dari persamaan ini konsisten dengan mekanika klasik, bagian keduanya tidak: Jika pasangan $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ memenuhi hukum kedua Newton, bagian kanan dari persamaan kedua akan berisi

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ .

Akan tetapi, dalam kasus kebanyakan

$\left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )$ .

Sebagai contoh, jika potensial $V$ adalah kubik, $V'$ akan bersifat kuadratik, yang mana dalam kasus ini, kita membicarakan perbedaan antara $\langle X^{2}\rangle$ dan $\langle X\rangle ^{2}$ , yang berbeda sebesar $(\Delta X)^{2}$ .

Pengecualian terjadi dalam kasus ketika persamaan gerak klasik adalah linier, yaitu ketika nilai $V$ adalah kuadratik dan nilai $V'$ adalah linier. Dalam kasus khusus, $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ dan $\left\langle V'(X)\right\rangle$ memenuhi. Untuk beberapa kasus, untuk sebuah partikel bebas atau osilator harmonik kuantum, dan posisi serta momentum perkiraan tepat memenuhi solusi persamaan Newton.

Untuk sistem secara umum, yang bisa diharapkan adalah posisi dan momentum perkiraan akan mendekati trajektori klasik. Jika fungsi gelombang terkonsentrasi di sekitar titik $x_{0}$ , $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ dan $\left\langle V'(X)\right\rangle$ akan hampir sama, karena keduanya hampir mendekati $V'(x_{0})$ . Dalam kasus tersebut, posisi perkiraan dan momentum perkiraan akan tetap mendekati trajektori klasik, setidaknya selama fungsi gelombang terlokalisasi secara posisi.

Sekarang, jika kondisi awal terlokalisasi secara posisi, momentumnya akan sangat tersebar, sehingga diperkirakan bahwa fungsi gelombang akan berubah secara cepat, dan hubungan dengan trajektori klasik akan hilang. Ketika nilai konstanta Planck kecil, kemungkinan terjadi kondisi saat posisi dan momentum terlokalisasi. Ketidakpastian yang kecil dalam momentum memastikan bahwa partikel akan tetap terlokalisasi dalam posisinya dalam waktu yang lama, sehingga posisi perkiraan dan momentum perkiraan akan tetap mengikuti trajektori klasik dalam waktu yang lama.

Referensi

^ Bohm, D. (1989). Quantum Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-65969-0.
^ Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (edisi ke-3rd). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1.
^ Hepp, K. (1974). "The classical limit for quantum mechanical correlation functions". Communications in Mathematical Physics. 35 (4): 265–277. Bibcode:1974CMaPh..35..265H. doi:10.1007/BF01646348.
^ Bracken, A.; Wood, J. (2006). "Semiquantum versus semiclassical mechanics for simple nonlinear systems". Physical Review A. 73: 012104. arXiv:quant-ph/0511227 . Bibcode:2006PhRvA..73a2104B. doi:10.1103/PhysRevA.73.012104.
^ Sebaliknhya, dalam the lesser-known pendekatan yang lebih jarang dikenal yang dipresentasikan pada tahun 1932 oleh Koopman dan von Neumann, dinamika mekanika klasik telah diformulasi dengan suatu formalisme operasional dalam Hilbert space, suatu formalisme yang digunakan secara konvensional untuk mekanika kuantum.
^ Hall 2013 Section 3.7.5

Pustaka tambahan

Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN 978-1461471158

[1] Bohm, D. (1989). Quantum Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-65969-0.

[2] Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (edisi ke-3rd). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1.

[3] Hepp, K. (1974). "The classical limit for quantum mechanical correlation functions". Communications in Mathematical Physics. 35 (4): 265–277. Bibcode:1974CMaPh..35..265H. doi:10.1007/BF01646348.

[4] Bracken, A.; Wood, J. (2006). "Semiquantum versus semiclassical mechanics for simple nonlinear systems". Physical Review A. 73: 012104. arXiv:quant-ph/0511227 . Bibcode:2006PhRvA..73a2104B. doi:10.1103/PhysRevA.73.012104.

[5] Sebaliknhya, dalam the lesser-known pendekatan yang lebih jarang dikenal yang dipresentasikan pada tahun 1932 oleh Koopman dan von Neumann, dinamika mekanika klasik telah diformulasi dengan suatu formalisme operasional dalam Hilbert space, suatu formalisme yang digunakan secara konvensional untuk mekanika kuantum.

[6] Hall 2013 Section 3.7.5

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]