Deret komposisi

Dalam aljabar abstrak, deret komposisi menyediakan cara untuk memecah struktur aljabar, seperti grup atau modul, menjadi bagian-bagian sederhana. Kebutuhan untuk mempertimbangkan rangkaian komposisi dalam konteks modul muncul dari fakta bahwa banyak modul yang muncul secara alami bukanlah setengah sederhana, karenanya tidak dapat didekomposisi menjadi jumlah langsung dari modul sederhana. Rangkaian komposisi modul M adalah penyaringan dari M yang meningkat hingga submodul sedemikian rupa sehingga hasil kuosien berturut-turut sederhana dan berfungsi sebagai pengganti dekomposisi jumlah langsung dari M menjadi konstituen sederhananya.

Rangkaian komposisi mungkin tidak ada, dan jika demikian, tidak perlu unik. Namun demikian, sekelompok hasil yang dikenal dengan nama umum Teorema Jordan-Hölder menegaskan bahwa setiap kali rangkaian komposisi ada, kelas isomorfisme es dari potongan-potongan sederhana (meskipun, mungkin, bukan lokasi mereka dalam rangkaian komposisi yang dipertanyakan) dan kelipatannya ditentukan secara unik. Deret komposisi dengan demikian dapat digunakan untuk mendefinisikan invarian dari grup hingga dan modul Artinian.

Konsep terkait namun berbeda adalah deret utama: deret komposisi adalah maksimal deret subnormal , sedangkan seri utama adalah maksimal deret normal .

Untuk grup

Jika grup G memiliki subgrup normal N , maka grup faktor G / N dapat dibentuk, dan beberapa aspek studi tentang struktur G dapat dipecah dengan mempelajari grup yang lebih kecil G/N dan N . Jika G tidak memiliki subgrup normal yang berbeda dengan G dan dari grup sepele, maka G adalah grup sederhana. Jika tidak, pertanyaan akan muncul secara alami, apakah G dapat direduksi menjadi "potongan" sederhana, dan jika demikian, apakah ada fitur unik dari cara ini dilakukan?

Lebih formal, rangkaian komposisi dari grup G adalah deret subnormal dengan panjang terbatas

1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,

dengan inklusi yang ketat, sehingga H_i adalah maksimal subgrup normal ketat dari H_i+1. Secara ekivalen, deret komposisi adalah deret subnormal sedemikian rupa sehingga setiap grup faktor H_i+1 / H_i adalah sederhana. Kelompok faktor disebut faktor komposisi.

Deret subnormal adalah deret komposisi jika dan hanya jika memiliki panjang maksimal. Artinya, tidak ada subgrup tambahan yang dapat "disisipkan" ke dalam rangkaian komposisi. Panjang n rangkaian disebut panjang komposisi.

Jika rangkaian komposisi ada untuk grup G , maka rangkaian subnormal G dapat disempurnakan menjadi rangkaian komposisi, secara informal, dengan memasukkan subgrup ke dalam rangkaian tersebut hingga maksimal. Setiap grup hingga memiliki deret komposisi, tetapi tidak setiap grup tak hingga memiliki satu. Sebagai contoh, $\mathbb {Z}$ has no composition series.

Keunikan: Teorema Jordan–Hölder

Suatu grup dapat memiliki lebih dari satu rangkaian komposisi. Namun, Teorema Jordan-Hölder (dinamai Camille Jordan dan Otto Hölder) menyatakan bahwa dua rangkaian komposisi dari suatu kelompok tertentu. Artinya, mereka memiliki panjang komposisi yang sama dan faktor komposisi yang sama, hingga permutasi dan isomorfisme. Teorema ini dapat dibuktikan dengan Teorema pemurnian Schreier. Teorema Jordan–Hölder juga berlaku untuk rangkaian komposisi transfinite, tetapi bukan rangkaian komposisi turun yang tak terbatas (Birkhoff 1934). (Baumslag 2006) memberikan bukti singkat teorema Jordan-Hölder dengan memotong suku-suku dalam satu deret subnormal dengan suku-suku di deret lainnya.

Contoh

Untuk grup siklik berorde n , deret komposisi sesuai dengan faktorisasi prima terurut dari n , dan ternyata menghasilkan bukti dari teorema dasar aritmetika.

Misalnya, grup siklik $C_{12}$ memiliki $C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12},\ \,C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12},$ dan $C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}$ sebagai tiga deret komposisi yang berbeda. Urutan faktor komposisi yang diperoleh pada masing-masing kasus adalah $C_{2},C_{3},C_{2},\ \,C_{2},C_{2},C_{3},$ dan $C_{3},C_{2},C_{2}.$

Untuk modul

Definisi rangkaian komposisi untuk modul membatasi semua perhatian pada submodul, mengabaikan semua subkelompok aditif yang merupakan bukan submodul. Diberikan cincin R dan modul R pada M , rangkaian komposisi untuk M adalah rangkaian submodul

\{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M

di mana semua inklusi ketat dan J_k adalah submodul maksimal dari J_k+1 for each k. Sedangkan untuk grup, jika M memiliki rangkaian komposisi sama sekali, maka rangkaian submodul yang meningkat secara ketat dari M dapat disempurnakan menjadi rangkaian komposisi, dan dua seri komposisi untuk M adalah setara. Dalam hal ini, modul hasil bagi (sederhana) J_k+1/J_k dikenal sebagai faktor komposisi dari M , dan teorema Jordan-Hölder berlaku, memastikan bahwa jumlah kemunculan setiap jenis isomorfisma modul R sederhana sebagai faktor komposisi tidak bergantung pada pilihan deret komposisi.

Itu terkenal^[1] bahwa modul memiliki rangkaian komposisi terbatas jika dan hanya jika itu adalah modul Artinian dan modul Noetherian. Jika R adalah gelanggang Artinian, maka setiap modul R yang dihasilkan secara halus adalah Artinian dan Noetherian, dan karenanya memiliki rangkaian komposisi hingga. Khususnya, untuk setiap bidang K , modul berdimensi hingga apa pun untuk aljabar berdimensi hingga di atas K memiliki deret komposisi, unik hingga ekuivalen.

Generalisasi

Grup dengan satu set operator menggeneralisasi tindakan grup dan tindakan dering pada grup. Pendekatan terpadu untuk grup dan modul dapat diikuti seperti pada (Isaacs 1994, Ch. 10), menyederhanakan beberapa eksposisi. Grup G dipandang sebagai ditindaklanjuti oleh elemen (operator) dari himpunan Ω . Perhatian dibatasi sepenuhnya pada subgrup yang tidak berubah di bawah aksi elemen dari Ω , yang disebut subgrup Ω . Jadi rangkaian Ω komposisi harus menggunakan hanya subgrup Ω , dan faktor Ω komposisi hanya perlu sederhana Ω. Hasil standar di atas, seperti teorema Jordan-Hölder, ditetapkan dengan bukti yang hampir identik.

Kasus-kasus khusus yang ditemukan termasuk ketika Ω = G sehingga G bekerja sendiri. Contoh penting dari hal ini adalah ketika elemen G bekerja dengan konjugasi, sehingga himpunan operator terdiri dari automorfisme bagian dalam. Rangkaian komposisi di bawah tindakan ini sebenarnya adalah deret utama. Struktur modul adalah kasus aksi-Ω di mana Ω adalah gelanggang dan beberapa aksioma tambahan terpenuhi.

Untuk objek dalam kategori abelian

Deret komposisi dari objek A dalam kategori abelian adalah urutan subobjek

A=X_{0}\supsetneq X_{1}\supsetneq \dots \supsetneq X_{n}=0

sedemikian rupa sehingga setiap objek hasil X_i /X_i + 1 adalah sederhana (untuk 0 ≤ i < n). Jika A memiliki rangkaian komposisi, integer n hanya bergantung pada A dan disebut panjang dari A .^[2]

Lihat pula

Teori Krohn–Rhodes, analog semigroup
Teorema pemurnian Schreier, dua padanan deret subnormal mana pun memiliki penyempitan deret komposisi ekuivalen
lemma Zassenhaus, digunakan untuk membuktikan Teorema Pemurnian Schreier

Catatan

^ Isaacs 1994, p.146.
^ Kashiwara & Schapira 2006, exercise 8.20

Referensi

Birkhoff, Garrett (1934), "Transfinite subgroup series", Bulletin of the American Mathematical Society, 40 (12): 847–850, doi:10.1090/S0002-9904-1934-05982-2 
Baumslag, Benjamin (2006), "A simple way of proving the Jordan-Hölder-Schreier theorem", American Mathematical Monthly, 113 (10): 933–935, doi:10.2307/27642092
Isaacs, I. Martin (1994), Algebra: A Graduate Course, Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-19002-6
Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Categories and sheaves

[FOOTNOTEIsaacs1994p.146-1] Isaacs 1994, p.146.

[2] Kashiwara & Schapira 2006, exercise 8.20

[1]

[2]