Ukuran pemusatan data

Data menyebar normal sehingga Median, Mean dan Modus relatif sama

Data menjulur ke kanan sehingga Median, Mean dan Modus berbeda-beda

Ukuran pemusatan data adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil. Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua (populasi) atau contoh, karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing anggota populasi atau masing-masing anggota data contoh. Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.

Ukuran pemusatan yang paling banyak digunakan adalah median, mean, dan modus. Masing-masing dari ukuran pemusatan data tersebut memiliki kekurangan. Nilai tengah akan sangat dipengaruh nilai pencilan. Median terlalu bervariasi untuk dijadikan parameter populasi. Sedangkan modus hanya dapat diterapkan dalam data dengan ukuran yang besar.

Jenis-jenis ukuran pemusatan data

Data tunggal

• Mean

merupakan rata-rata hitung

$${\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}}=\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}$$

• Median

merupakan nilai tengah setelah diurutkan

bila ganjil maka terambil di tengah setelah diurutkan. bila genap terambil dua di tengah dibagi rata-rata setelah diurutkan

$Me=x_{\frac {n+1}{2}}$ bila n ganjil

$Me={\frac {x_{\frac {n}{2}}+x_{({\frac {n}{2}}+1)}}{2}}$ bila n genap

• Modus

merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi

terambil jumlahnya paling banyak setelah diurutkan

• Kuartil

merupakan membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak

$Q_{i}={\frac {i(n+1)}{4}}$

terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil bawah, tengah dan atas.

Kuartil	Ganjil		Genap
	n+1 tidak habis dibagi 4	n+1 habis dibagi 4	n tidak habis dibagi 4	n habis dibagi 4
Kuartil bawah (Q1)	${\frac {x_{\frac {n-1}{4}}+x_{({\frac {n-1}{4}}+1)}}{2}}$	$x_{\frac {n+1}{4}}$	$x_{\frac {n+2}{4}}$	${\frac {x_{\frac {n}{4}}+x_{({\frac {n}{4}}+1)}}{2}}$
Kuartil tengah (Q2)	$x_{\frac {n+1}{2}}$		${\frac {x_{\frac {n}{2}}+x_{({\frac {n}{2}}+1)}}{2}}$
Kuartil atas (Q3)	${\frac {x_{\frac {3n+1}{4}}+x_{({\frac {3n+1}{4}}+1)}}{2}}$	$x_{\frac {3(n+1)}{4}}$	$x_{\frac {3n+2}{4}}$	${\frac {x_{\frac {3n}{4}}+x_{({\frac {3n}{4}}+1)}}{2}}$

atau

Kuartil	Ganjil	Genap
Kuartil bawah (Q1)	${\frac {n+1}{4}}$	${\frac {n+2}{4}}$
Kuartil tengah (Q2)	${\frac {n+1}{2}}$	${\frac {X_{{\frac {n}{2}}+X_{({\frac {n}{2}}+1)}}}{2}}$
Kuartil atas (Q3)	${\frac {3\cdot (n+1)}{4}}$	${\frac {3n+2}{4}}$

• Desil

merupakan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak

$D_{i}={\frac {i(n+1)}{10}}$

terdiri dari tiga jenis yaitu desil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil.

• Persentil

merupakan membagi data menjadi seratus bagian yang sama banyak

$P_{i}={\frac {i(n+1)}{100}}$

terdiri dari tiga jenis yaitu presentil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil.

Data berkelompok

Dalam data berkelompok terdiri dari tabel, diagram garis, diagram batang serta diagram lingkaran.

• Mean

${\bar {x}}={\frac {f_{1}x_{1}+f_{2}x_{2}+f_{3}x_{3}+\cdots +f_{n}x_{n}}{f_{1}+f_{2}+f_{3}+\cdots +f_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}x_{i}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}$

${\bar {x}}={\bar {x_{s}}}+{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}d_{i}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}$

${\bar {x}}={\bar {x_{s}}}+({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}u}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}})c$

keterangan

1. $f_{i}$ = frekuensi untuk nilai i
2. $x_{i}$ = data ke-i (untuk data tunggal) atau titik tengah rentang tertentu ke-i (data kelompok)
3. $x_{s}$= titik tengah rataan sementara
4. $d_{i}$ = panjang interval antar rentang tertentu pada $x_{i}$ (di atas $x_{s}$ bernilai min dan dibawah $x_{s}$ bernilai plus)
5. u = bilangan bulat (jika $x_{s}$ maka u adalah nol. diatasnya min serta dibawahnya plus)
6. c = panjang interval kelas

• Median

$Me=L_{2}+({\frac {{\frac {n}{2}}-(\sum {f})_{2}}{f_{Me}}})c$

keterangan

1. $L_{2}$ = tepi bawah kelas median
2. n = banyak data
3. $(\sum {f})_{2}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas median
4. $f_{Me}$ = frekuensi kelas median
5. c = panjang interval kelas

• Modus

$Mo=L_{o}+({\frac {d_{1}}{d_{1}+d_{2}}})c$

keterangan

1. $L_{o}$ = tepi bawah kelas modus
2. $d_{1}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus
3. $d_{2}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus
4. c = panjang interval kelas

• Kuartil

$Q_{i}=L_{i}+({\frac {{\frac {in}{4}}-(\sum {f})_{i}}{f_{Q_{i}}}})c$

keterangan

1. i = 1, 2 atau 3
2. $L_{i}$ = tepi bawah kelas kuartil ke-i
3. n = banyak data
4. $(\sum {f})_{i}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
5. $f_{Q_{i}}$ = frekuensi kelas kuartil ke-i
6. c = panjang interval kelas

• Desil

$D_{i}=L_{i}+({\frac {{\frac {in}{10}}-(\sum {f})_{i}}{f_{D_{i}}}})c$

keterangan

1. i = 1, 2, 3, ....., 9
2. $L_{i}$ = tepi bawah kelas desil ke-i
3. n = banyak data
4. $(\sum {f})_{i}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i
5. $f_{Q_{i}}$ = frekuensi kelas desil ke-i
6. c = panjang interval kelas

• Persentil

$P_{i}=L_{i}+({\frac {{\frac {in}{100}}-(\sum {f})_{i}}{f_{P_{i}}}})c$

keterangan

1. i = 1, 2, 3, ....., 99
2. $L_{i}$ = tepi bawah kelas persentil ke-i
3. n = banyak data
4. $(\sum {f})_{i}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i
5. $f_{Q_{i}}$ = frekuensi kelas persentil ke-i
6. c = panjang interval kelas

Jenis-jenis ukuran penyebaran data

Artikel utama: Ukuran penyebaran data

• Lima serangkai

$x_{min}$

$Q_{1}$

$Q_{2}$

$Q_{3}$

$x_{max}$

• Rataan dua

$R_{2}={\frac {Q_{1}+Q_{3}}{2}}$

• Rataan tiga

$R_{3}={\frac {Q_{1}+2Q_{2}+Q_{3}}{2}}$

• Jangkauan atau Range

$J=x_{max}-x_{min}$

• Jangkauan kuartil atau Hamparan

$H=Q_{3}-Q_{1}$

• Jangkauan semi kuartil atau Simpangan kuartil

$Q_{d}={\frac {Q_{3}-Q_{1}}{2}}$

• Simpangan rata-rata

Data tunggal

$SR={\frac {\sum {|x_{i}-{\bar {x}}|}}{n}}$

Data berkelompok

$SR={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}$

• Ragam atau Varian

Data tunggal

$V={\frac {\sum {|x_{i}-{\bar {x}}|^{2}}}{n}}$

Data berkelompok

$V={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|^{2}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}$

• Simpangan baku atau deviasi

Data tunggal

$S={\sqrt {\frac {\sum {|x_{i}-{\bar {x}}|^{2}}}{n}}}$

Data berkelompok

$S={\sqrt {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|^{2}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}}$

Lihat pula

• Ukuran penyebaran data
• Probabilitas
• Statistika matematika