Kurva

Kurva parabola merupakan salah satu kurva yang paling sederhana.

Dalam matematika, kurva adalah objek yang mirip dengan garis yang tidak harus lurus. Dalam beberapa teks kuno, kurva juga disebut garis lengkung.

Secara intuitif, kurva dapat dianggap sebagai jejak yang ditinggalkan oleh titik bergerak. Intuitif tersebut merupakan definisi yang muncul lebih dari 2000 tahun yang lalu dalam karya Euklides, Elements: "Garis [melengkung] adalah [...] spesies kuantitas pertama yang hanya memiliki satu dimensi, yaitu panjang, tanpa adanya lebar atau kedalaman. Garis ini tidak lain merupakan aliran atau lintasan titik yang [...] akan ditinggalkan dari khayalannya yang kemudian memindahkan bekas-bekasnya di panjang, tetapi lebar dikecualikan."

Definisi kurva ini telah diformalkan dalam matematika modern, yang berbunyi bahwa suatu kurva merupakan bayangan fungsi dari suatu interval ke ruang topologi yang didasari pada fungsi kontinu. Dalam beberapa konteks, fungsi yang mendefinisikan kurva disebut parametrisasi (parametrization), dan kurva itu adalah kurva parametrik. Dalam artikel ini, kurva ini kadang-kadang disebut kurva topologi; istilah tersebut dipakai untuk membedakan kurva yang lebih terbatas, seperti kurva terdiferensialkan (differentiable curve). Definisi ini mencakup sebagian besar kurva yang dipelajari dalam matematika, kecuali kurva level (yang merupakan gabungan dari kurva dan titik yang terisolasi), dan kurva aljabar. Kurva level dan kurva aljabar kadang-kadang disebut kurva implisit, karena kedua kurva tersebut biasanya didefinisikan oleh persamaan implisit.

Namun demikian, kelas kurva topologi sangatlah luas, dan mengandung beberapa kurva yang tidak terlihat seperti yang diharapkan seseorang untuk kurva, atau bahkan tidak dapat ditarik. Ini adalah kasus kurva mengisi ruang dan kurva fraktal. Untuk memastikannya, fungsi yang mendefinisikan suatu kurva sering kali dianggap terdiferensialkan, dan kurva tersebut kemudian dikatakan kurva terdiferensialkan.

Sejarah

Seni megalitik dari Newgrange menunjukkan minat awal pada kurva

Ketertarikan pada kurva dimulai jauh sebelum menjadikannya sebagai kajian matematika. Hal tersebut dapat ditunjukkan dalam banyak contoh kegunaan dekoratifnya dalam seni, serta pada benda sehari-hari yang dibuat sejak zaman prasejarah. Kurva, atau setidaknya representasi grafisnya, sangat mudah digambarkan, misalnya dengan menggunakan tongkat di pasir pantai.

Menurut sejarah, istilah garis digunakan sebagai pengganti istilah kurva yang lebih modern. Oleh karena itu, istilah garis lurus dan garis siku-siku digunakan untuk membedakan istilah yang saat ini dikenal dengan sebutan garis dari garis lengkung. Sebagai contoh, definisi kedua dalam karya Euklides, Elements mengatakan bahwa suatu garis didefinisikan sebagai "panjang tanpa mempunyai lebar". Sementara itu, definisi keempat dalam karya yang sama mengatakan bahwa garis lurus didefinisikan sebagai "garis yang terletak secara merata dengan titik-titik pada dirinya sendiri". Gagasan Euklides tentang garis kemungkinan dijelaskan lebih lanjut dalam pernyataan definisi ketiga, "ekstremitas dari suatu garis adalah titik."

Kurva terdiferensialkan

Dalam bahasa kasarnya, kurva terdiferensialkan adalah kurva yang didefinisikan sebagai bayangan fungsi yang terdiferensialkan secara lokal $\gamma \colon I\rightarrow X$ yang dipetakan dari suatu interval $I$ dari bilangan real ke manifold terdiferensialkan X. Ini sering kali dinyatakan $\mathbb {R} ^{n}.$

Panjang kurva

Jika $X=\mathbb {R} ^{n}$ adalah ruang Euklides berdimensi-$n$, dan jika $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ adalah fungsi injektif dan terdiferensialkan secara kontinu, maka panjang dari $\gamma$ didefinisikan sebagai$$\operatorname {panjang} (\gamma )~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~{dt}.$$

Panjang kurva tidak bergantung pada parameterisasi $\gamma$. Secara khusus, panjang $s$ dari grafik fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu $y=f(x)$ yang didefinisikan pada interval tertutup $[a,b]$ dirumuskan sebagai$$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~{dx}.$$

Lebih umum, jika $X$ adalah ruang metrik dengan metrik $d$, maka panjang kurva $\gamma :[a,b]\to X$ dapat didefinisikan dengan$$\operatorname {panjang} (\gamma )~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{dan}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right).$$Pada definisi di atas, supremum mengambil alih semua $n$ suatu bilangan asli dan semua partisi $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ dari $[a,b]$.

Kurva berpanjang (rectifiable curve) adalah kurva dengan panjangnya yang terbatas. Kurva $\gamma :[a,b]\to X$ disebut natural (atau satuan kecepatan parametrisasi berdasarkan panjang busur) jika ada $t_{1}$ dan $t_{2}$ di $[a,b]$ sehingga $t_{1}\leq t_{2}$. Oleh karena itu, dipunyailah$$\operatorname {panjang} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.$$

Jika $\gamma :[a,b]\to X$ adalah fungsi kontinu Lipschitz, maka fungsi tersebut secara langsung rectifiable (berkepanjangan). Selain itu, kecepatan (atau turunan metrik) dari $\gamma$ pada $t\in [a,b]$ dapat ditentukan sebagai$${\operatorname {kecepatan} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\limsup _{[a,b]\ni s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}$$dan kemudian diperlihatkan bahwa$$\operatorname {panjang} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {kecepatan} _{\gamma }}(t)~{dt}.$$

Geometri diferensial

Sementara contoh pertama kurva yang dipenuhi sebagian besar adalah kurva bidang (yaitu, dalam kata sehari-hari, garis lengkung dalam ruang dua dimensi), ada contoh nyata seperti helix yang ada secara alami dalam tiga dimensi. Kebutuhan geometri, dan juga misalnya mekanika klasik harus memiliki gagasan tentang kurva dalam ruang dari sejumlah dimensi. Dalam relativitas umum, garis dunia adalah kurva dalam ruang waktu.

Jika $X$ adalah manifold terdiferensiasi, maka kita dapat mendefinisikan gagasan kurva terdiferensiasi dalam $X$. Gagasan umum ini cukup untuk mencakup banyak aplikasi kurva dalam matematika. Dari sudut pandang lokal seseorang dapat mengambil $X$menjadi ruang Euclidean. Di sisi lain, berguna untuk menjadi lebih umum, dalam hal itu (misalnya) dimungkinkan untuk mendefinisikan vektor garis singgung ke $X$ dengan melalui pengertian kurva ini.

Jika $X$ adalah manifold yang halus, kurva yang mulus di $X$ adalah peta yang halus

$\gamma \colon I\rightarrow X$.

Ini adalah gagasan dasar. Ada juga gagasan yang semakin terbatas. Jika $X$ adalah $C^{k}$manifold (mis., manifold yang grafiknya adalah $k$ kali terus menerus dapat dibedakan), maka sebuah $C^{k}$ kurva dalam $X$ adalah kurva yang hanya diasumsikan $C^{k}$ (yaitu. $k$ kali terus menerus dibedakan). Jika $X$ adalah manifold analitik (yaitu terdiferensiasi tak terhingga dan bagan dapat dinyatakan sebagai seri daya), dan $\gamma$ adalah peta analitik, lalu $\gamma$ dikatakan sebagai kurva analitik.

Kurva yang dapat dibedakan dikatakan teratur jika turunannya tidak pernah hilang. (Dengan kata lain, kurva biasa tidak pernah melambat ke berhenti atau mundur dengan sendirinya.) Dua $C^{k}$ kurva terdiferensiasi

$\gamma _{1}\colon I\rightarrow X$ dan

$\gamma _{2}\colon J\rightarrow X$

dikatakan setara jika ada kata sifat peta $C^{k}$

$p\colon J\rightarrow I$

sedemikian rupa sehingga peta terbalik

$p^{-1}\colon I\rightarrow J$

juga $C^{k}$, dan

$\gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))$

untuk semua $t$. Peta $\gamma _{2}$ disebut reparametrisasi dari $\gamma _{1}$; dan ini membuat hubungan kesetaraan pada kumpulan semua $C^{k}$ kurva terdiferensiasi dalam $X$. Sebuah busur $C^{k}$ adalah kelas ekivalensi dari $C^{k}$ kurva di bawah hubungan reparametrisasi.

Pranala luar

• Famous Curves Index, Sekolah Matematika dan Statistik, Universitas St Andrews, Skotlandia.
• Mathematical curves Kumpulan 874 kurva matematika dua dimensi.
• Galeri Kurva Luar Angkasa yang Dibuat dari Lingkaran, termasuk animasi oleh Peter Moses
• Galeri Kurva Uskup dan Kurva Bulat Lainnya, termasuk animasi oleh Peter Moses
• Artikel Ensiklopedia Matematika dalam garis.
• Halaman Manifold Atlas pada 1-manifold.