Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Dalam analisa teori ukur dan cabang-cabang matematika yang berkaitan, integrasi Lebesgue-Stieltjes menggeneralisasi integral Riemann-Stieltjes dan integrasi Lebesgue , preserving banyak keuntungan dari yang terakhir dalam rangka teori ukur yang lebih umum.
Integral Lebesgue-Stieltjes dinamai menurut Henri Leon Lebesgue dan Thomas Joannes Stieltjes , juga dikenal sebagai integral Lebesgue-Radon atau integral Radon, menurut Johann Radon , yang menemukan banyak teori dalam topik ini. Mereka menemukan penerapan umum dalam teori probabilitas dan proses stokastik , dan dalam beberapa cabang analisa matematika termasuk teori potensial .
(
1
)
μ
w
(
E
)
:=
inf
{
∑
j
w
(
I
j
)
:
E
⊆
Ω
,
E
⊂
⋃
j
I
j
}
,
{\displaystyle (1)\quad \mu _{w}(E):=\inf \left\{\sum _{j}w(I_{j}):E\subseteq \Omega ,\,E\subset \bigcup _{j}I_{j}\right\},}
∫
s
d
μ
w
=
∑
i
a
i
μ
w
(
A
i
)
.
{\displaystyle \int s\,d\mu _{w}=\sum _{i}a_{i}\mu _{w}(A_{i}).}
(
2
)
∫
E
f
d
μ
w
=
sup
{
∫
s
d
μ
w
E
:
s
<
f
,
s
simple
}
,
{\displaystyle (2)\quad \int _{E}f\,d\mu _{w}=\sup \left\{\int s\,d\mu _{w}^{E}:s<f,s\ {\mbox{simple}}\,\right\},}
∫
E
f
d
μ
w
=
∫
E
g
d
μ
w
−
∫
E
h
d
μ
w
.
{\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{w}=\int _{E}g\,d\mu _{w}-\int _{E}h\,d\mu _{w}.}
(
3
)
μ
v
(
E
)
=
μ
w
1
(
E
)
−
μ
−
w
2
(
E
)
,
{\displaystyle (3)\quad \mu _{v}(E)=\mu _{w_{1}}(E)-\mu _{-w_{2}}(E),}
∫
E
f
d
μ
v
=
(
∫
E
g
d
μ
w
1
−
∫
E
h
d
μ
w
1
)
−
(
∫
E
g
d
μ
−
w
2
−
∫
E
h
d
μ
−
w
2
)
,
{\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{v}=\left(\int _{E}g\,d\mu _{w_{1}}-\int _{E}h\,d\mu _{w_{1}}\right)-\left(\int _{E}g\,d\mu _{-w_{2}}-\int _{E}h\,d\mu _{-w_{2}}\right),}
