Persamaan transendental

John Herschel, Deskripsi mesin untuk menyelesaikan dengan inspeksi bentuk penting tertentu dari persamaan transendental, 1832

Persamaan transendental adalah persamaan yang berisi fungsi transendental dari variabel yang diselesaikan. Persamaan seperti itu kali tidak memiliki solusi bentuk tertutup. Contohnya termasuk:

${\begin{aligned}x&=e^{-x}\\x&=\cos x\\2^{x}&=x^{2}\end{aligned}}$

Persamaan transendental yang dapat dipecahkan

Persamaan di mana variabel yang akan diselesaikan hanya muncul sekali, sebagai argumen untuk fungsi transendental, mudah dipecahkan dengan fungsi terbalik; Demikian pula jika persamaan dapat difaktorkan atau diubah menjadi kasus seperti itu:

Persamaan	Solusi
$\ln x=3$	$x=e^{3}$
$\sin x=0$	$x=\pi n$ (untuk $n$ sebuah bilangan bulat)
$\cos x=\sin {2x}$	equivalent to $\cos x=2\sin x\cos x$ (menggunakan rumus sudut ganda), yang solusinya adalah dari $\cos x=0$ dan dari $2\sin x=1$, yaitu $x=\pi n+\pi /2$ and $x={2\pi m}+\pi /6$ dan $x=\pi (2k+1)-\pi /6$ (untuk $m,n,k$ bilangan bulat)

Beberapa dapat diselesaikan karena merupakan komposisi fungsi aljabar dengan fungsi transendental.

Persamaan	Solusi
$3(2^{x})-2=4^{x}$	memecahkan $3q-2=q^{2}$, memberi $q=1$ atau $q=2$, kemudian $2^{x}=q$, jadi $x=0$ atau $x=1$

Tetapi sebagian besar persamaan di mana variabel muncul baik sebagai argumen untuk fungsi transendental dan di tempat lain dalam persamaan tidak dapat diselesaikan dalam bentuk tertutup, atau hanya solusi sepele.

Persamaan	Solusi
$e^{x}=x$	No real solutions, as $e^{x}>x$ for all $x$
$\sin x=x$	$x=0$ adalah satu-satunya solusi nyata

Solusi perkiraan

Solusi numerik perkiraan untuk persamaan transendental dapat ditemukan menggunakan numerik, pendekatan analitik, atau metode grafis.

Metode numerik untuk menyelesaikan persamaan arbitrer disebut algoritma pencarian akar.

Dalam beberapa kasus, persamaan dapat didekati dengan baik menggunakan deret Taylor mendekati nol. Misalnya untuk $k\approx 1$, solusi dari $\sin x=kx$ kira-kira dari $(1-k)x-x^{3}/6=0$, yaitu $x=0$ dan $x=\pm {\sqrt {6}}{\sqrt {1-k}}$.

Untuk solusi grafis, salah satu metodenya adalah mengatur setiap sisi dari persamaan transendental variabel tunggal sama dengan variabel dependen dan memplot kedua grafik, menggunakan titik perpotongannya untuk menemukan solusi.

Dalam beberapa kasus, fungsi khusus dapat digunakan untuk menulis solusi persamaan transendental dalam bentuk tertutup. Secara khusus, $x=e^{-x}$ memiliki solusi dalam hal fungsi Lambert W.

Solusi lainnya

Kesulitan yang timbul pada solusi sistem transendental dari persamaan orde tinggi diatasi oleh Vladimir Varyukhin melalui "pemisahan" yang tidak diketahui, di mana penentuan yang tidak diketahui direduksi menjadi solusi persamaan aljabar