Gelanggang pembagian

Dalam aljabar, sebuah gelanggang pembagian disebut juga medan miring, adalah gelanggang dimana pembagian dimungkinkan. Secara khusus, ini adalah gelanggang bukan nol^[1] dimana setiap elemen bukan nol $a$ memiliki invers perkalian, yaitu elemen yang umumnya dilambangkan $a -1$ , misalnya $a a -1 = a -1 a = 1$ . Jadi, pembagian dapat didefinisikan $a / b = a b -1$ , tetapi notasi ini umumnya jarang digunakan, misalnya $a b -1 \neq b -1 a$ .

Gelanggang pembagian umumnya merupakan gelanggang nonkomutatif. Komutatif, jika dan hanya jika medan, dalam hal ini istilah "gelanggang pembagian" jarang digunakan, kecuali untuk sifat gelanggang pembagian yang benar meskipun bersifat komutatif atau dalam bukti gelanggang pembagian tertentu bersifat komutatif. Misalnya, teorema kecil Wedderburn yang menyatakan bahwa semua gelanggang pembagian hingga adalah komutatif dan medan hingga.

Semua gelanggang pembagian adalah sederhana. Artinya, mereka tidak memiliki dua sisi ideal selain nol ideal dan sendiri.

Relasi dengan medan dan aljabar linear

Semua medan adalah gelanggang pembagian; contoh yang menarik adalah gelanggang pembagian non-komutatif. Contoh paling terkenal adalah gelanggang kuaternion H. Jika koefisien rasional dari riil dalam konstruksi kuaternion, maka memperoleh gelanggang pembagian yang lain. Secara umum, jika R adalah gelanggang dan S adalah modul sederhana di atas R, maka, lemma Schur dan gelanggang endomorfisme dari S adalah gelanggang pembagian,^[2] setiap gelanggang pembagian muncul dengan cara ini dari beberapa modul sederhana.

Banyak dari aljabar linear dirumuskan, dan tetap benar, untuk modul di atas gelanggang pembagian D sebagai alihan ruang vektor di atas medan. Melakukanya harus ditentukan apakah seseorang sedang mempertimbangkan modul kanan atau kiri, dan beberapa kehati-hatian diperlukan dalam membedakan kiri dan kanan dengan benar dalam rumus. Bekerja dalam koordinat, elemen modul kanan dimensi hingga diwakili oleh vektor kolom, yang dapat dikalikan di kanan dengan skalar, dan di sebelah kiri oleh matriks (mewakili peta linier), untuk elemen modul kiri berdimensi hingga, vektor baris harus digunakan yang dikalikan di kiri dengan skalar, dan di kanan dengan matriks. Rangkap dari modul kanan adalah modul kiri, dan sebaliknya. Transposisi matriks dilihat sebagai matriks di atas gelanggang pembagian D^op dalam tatanan berlawanan $(AB) T = B T A T$ untuk tetap valid.

Setiap modul di atas gelanggang pembagian adalah bebas; yaitu, memiliki basis, dan semua basis modul memiliki jumlah elemen yang sama. Peta linear antara modul berdimensi hingga di atas gelanggang pembagian dijelaskan dengan matriks; fakta bahwa peta linear dengan definisi perjalanan dengan perkalian skalar paling mudah diwakilankan dalam notasi dengan menuliskannya pada berlawanan sisi vektor sebagai skalar. Algoritma eliminasi Gaussian tetap dapat diterapkan. Peringkat kolom dari matriks adalah dimensi modul kanan yang dihasilkan oleh kolom, dan peringkat baris adalah dimensi modul kiri yang dihasilkan oleh baris; bukti yang sama untuk kasus ruang vektor dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa peringkat ini sama, dan menentukan peringkat matriks.

Faktanya, konversinya ini memberikan karakterisasi gelanggang pembagian melalui kategori modul: Gelanggang unital R adalah gelanggang pembagian jika dan hanya jika setiap modul-R adalah bebas.^[3]

Pusat dari gelanggang pembagian adalah komutatif dan oleh karena itu merupakan medan.^[4] Oleh karena itu, setiap gelanggang pembagian adalah sebuah aljabar pembagian di atas pusatnya. Cincin pembagian dapat diklasifikasikan menurut dimensi hingga atau dimensi tak hingga di atas pusat. Pertama yang disebut hingga secara pusat dan yang terakhir tidak hingga secara pusat. Setiap medan, tentu saja satu dimensi di atas pusat. Gelanggang kuaternion Hamiltonian membentuk aljabar 4 dimensi di atas pusat yang isomorfik terhadap bilangan riil.

Contoh

Seperti yang disebutkan di atas, semua medan adalah gelanggang pembagian.
Kuaternion membentuk gelanggang pembagian nonkomutatif.
Himpunan bagian dari kuaternion $a + bi + cj + dk$ , maka $a$ , $b$ , $c$ , dan $d$ termasuk dalam sub-medan tetap bagian bilangan riil, adalah gelanggang pembagian nonkomutatif. Jika subbidang ini adalah bidang bilangan rasional, ini adalah gelanggang pembagian dari kuaternion rasional.
Maka $\sigma :\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ sebagai medan automorfisme $\mathbb {C}$ . Maka $\mathbb {C} ((z,\sigma ))$ menunjukkan gelanggang deret Laurent formal dengan koefisien kompleks, dimana perkalian didefinisikan sebagai berikut: alihan hanya mengizinkan koefisien untuk komutatif secara langsung dengan tak tentu $z$ , untuk $\alpha \in \mathbb {C}$ , menjelaskan $z^{i}\alpha :=\sigma ^{i}(\alpha )z^{i}$ untuk setiap indeks $i\in \mathbb {Z}$ . Jika $\sigma$ adalah automorfisme non-trivial dari bilangan kompleks (sebagai konjugasi), maka gelanggang yang dihasilkan dari deret Laurent adalah gelanggang pembagian nonkomutatif ketat yang dikenal sebagai gelanggang pembagian Laurent miring ;^[5] jika $σ = id$ maka fitur perkalian standar deret formal. Konsep ini dapat digeneralisasikan ke gelanggang deret Laurent di atas medan tetap $F$ , diberikan nontrivial automorfisme- $F$ $\sigma$ .

Teorema utama

Teorema kecil Wedderburn: Semua gelanggang pembagian hingga adalah komutatif dan oleh karena itu medan hingga. Ernst Witt salah satu yang memberikan bukti sederhana.

Teorema Frobenius: Satu-satunya aljabar pembagian asosiatif berdimensi-hingga di atas riil adalah riil sendiri, bilangan kompleks, dan kuaternion.

Gagasan terkait

Gelanggang pembagian dulu disebut "medan" dalam penggunaan yang lebih lama. Dalam banyak bahasa, kata yang berarti "tubuh" digunakan untuk gelanggang pembagian, dalam beberapa bahasa menunjuk gelanggang pembagian komutatif atau non-komutatif, sementara di tempat lain secara khusus menunjuk gelanggang pembagian komutatif, dalam bahasa Indonesia yang sekarang kita sebut adalah "Medan". Perbandingan yang lebih lengkap ditemukan dalam artikel di medan.

Nama "Medan miring" memiliki fitur semantik yang menarik: pengubah (di sini "skew") memperluas cakupan istilah dasar (di sini "medan"). Jadi, medan adalah jenis medan miring tertentu, dan tidak semua medan miring adalah medan.

Sedangkan gelanggang pembagian dan aljabar seperti yang dibahas di sini diasumsikan memiliki perkalian asosiatif, aljabar pembagian non asosiatif sebagai oktonion.

Medan dekat adalah struktur aljabar yang mirip dengan gelanggang pembagian, kecuali hanya memiliki satu dari dua hukum distributif.

Catatan

^ Dalam artikel ini, gelanggang hanya memiliki 1.
^ Lam (2001), Schur's Lemma, hlm. 33, pada Google Books.
^ Grillet, Pierre Antoine. Aljabar abstrak. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; bukti dapat ditemukan di sini Diarsipkan 2021-04-22 di Wayback Machine.
^ Gelanggang komutatif sederhana adalah medan. Lihat Lam (2001), simple commutative rings, hlm. 39, pada Google Books dan latihan 3.4, hlm. 45, pada Google Books.
^ Lam (2001), p. 10