Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Diagram yang menunjukkan jumlah 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... adalah mendekati 2. Deret ukur dalam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Deret ukur dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:
a
r
0
=
a
,
a
r
1
=
a
r
,
a
r
2
,
a
r
3
,
.
.
.
{\displaystyle ar^{0}=a,ar^{1}=ar,ar^{2},ar^{3},...\,}
dimana r ≠ 0 adalah bilangan rasio pengali dan a adalah faktor skala. Dalam hal ini suku ke-n:
a
n
=
a
r
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}
Jumlah semua suku:
∑
k
=
0
n
−
1
a
r
k
=
a
(
r
n
−
1
)
r
−
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}}
∑
k
=
0
n
−
1
a
r
k
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
Pembuktian
Suku ke-n
a
1
=
a
{\displaystyle a_{1}=a}
a
2
=
a
r
1
{\displaystyle a_{2}=a\,r^{1}}
a
3
=
a
r
2
{\displaystyle a_{3}=a\,r^{2}}
....
a
n
=
a
r
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}
jadi jumlah suku ke-n adalah
a
n
=
a
r
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}
Jumlah suku ke-n
s
n
=
a
+
a
r
1
+
a
r
2
+
.
.
.
.
+
a
r
n
−
2
+
a
r
n
−
1
{\displaystyle s_{n}=a+a\,r^{1}+a\,r^{2}+....+a\,r^{n-2}+a\,r^{n-1}}
s
n
r
=
a
r
1
+
a
r
2
+
a
r
3
+
.
.
.
.
+
a
r
n
−
1
+
a
r
n
{\displaystyle s_{n}r=a\,r^{1}+a\,r^{2}+a\,r^{3}+....+a\,r^{n-1}+a\,r^{n}}
persamaan (1) dikurangi (2) menjadi:
s
n
−
s
n
r
=
a
−
a
r
1
+
a
r
1
−
a
r
2
+
a
r
2
−
a
r
3
+
.
.
.
.
+
a
r
n
−
2
−
a
r
n
−
1
+
a
r
n
−
1
−
a
r
n
{\displaystyle s_{n}-s_{n}r=a-a\,r^{1}+a\,r^{1}-a\,r^{2}+a\,r^{2}-a\,r^{3}+....+a\,r^{n-2}-a\,r^{n-1}+a\,r^{n-1}-a\,r^{n}}
s
n
(
1
−
r
)
=
a
−
a
r
n
{\displaystyle s_{n}\,(1-r)=a-a\,r^{n}}
s
n
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle s_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
Deret geometri tak terhingga
s
n
=
a
1
−
r
{\displaystyle s_{n}={\frac {a}{1-r}}}
r
n
{\displaystyle r^{n}}
Deret geometri ganjil dan genap
s
n
=
a
1
−
r
2
{\displaystyle s_{n}={\frac {a}{1-r^{2}}}}
s
n
=
a
r
1
−
r
2
{\displaystyle s_{n}={\frac {a\,r}{1-r^{2}}}}
Rumus umum
a
n
=
a
r
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}
s
n
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle s_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
r
=
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}
u
t
=
a
n
a
{\displaystyle u_{t}={\frac {a_{n}}{a}}}
