Paradoks kentang

Kentang putih sebenarnya hanya mengandung sekitar 79% air, sementara agar-agar mengandung 99% air.

Paradoks kentang adalah perhitungan matematis yang memiliki hasil kontra-intuitif. The Universal Book of Mathematics menyatakan persoalan ini sebagai berikut:

Fred membawa pulang 100 kg kentang (kentang hipotetis), yang terdiri dari 99% air. Dia kemudian meninggalkannya di luar seharian sehingga pada keesokan hari hanya tersisa 98% air. Berapa bobot kentang itu sekarang? Jawabannya, (yang mengejutkan) adalah 50 kg.

Dalam klasifikasi paradoks Quine, paradoks kentang termasuk paradoks veridis.

Penjelasan sederhana

Metode 1

Dengan berat air awal 99% maka berat non-air awalnya adalah 1 kg, yaitu 1% dari 100 kg. Berat akhir air adalah 98% yang artinya berat kentang murni tanpa air akan menjadi 2%. Sehingga kemudian muncul pertanyaan: 1 kg adalah 2% dari berapa kg berat kotor? Agar persentasenya menjadi dua kali lebih besar, berat kotor (kentang + air) akhirnya harus setengah dari berat kotor awalnya.

Metode 2

Dalam visualisasi ini kotak biru mewakili kg air dan kotak oranye mewakili kg kentang tanpa air. Kiri, sebelum dehidrasi: 1 kg kentang padat, 99 kg air (99% air). Tengah: 1 kg kentang padat, 49 kg air (98% air).

Pada bagian awal (gambar kiri), terdapat 1 bagian bukan air dan 99 bagian air. Ini artinya terdapat 99% air, sehingga rasio non-air terhadap air adalah 1:99. Untuk menggandakan perbandingan non-air:air menjadi 1:49 sekaligus mempertahankan satu bagian non-air, jumlah air harus dikurangi menjadi 49 bagian (gambar tengah). Ini setara dengan 2 bagian non-air dengan 98 bagian air (98% air) (gambar kanan).

Dalam 100 kg kentang, 99% air (menurut beratnya) berarti ada 99 kg air, dan 1 kg padatan. Ini adalah rasio 1:99.

Jika persentase air menurun menjadi 98%, maka bagian kentang non-air sekarang harus mencapai 2% dari berat: rasio 2:98, atau 1:49. Karena kentang padat masih memiliki berat 1 kg, air harus memiliki berat 49 kg untuk menghasilkan total 50 kg.

Penjelasan menggunakan aljabar

Metode 1

Setelah air menguap, maka berat akhirnya ($x$), akan berisi 1 kg kentang murni dan (98/100)x air. Sehingga persamaannya menjadi:

${\begin{aligned}1+{\frac {98}{100}}x&=x\\\Longrightarrow 1&={\frac {1}{50}}x\end{aligned}}$

hasilnya $x$ = 50 kg.

Metode 2

Berat air pada kentang segar adalah $0.99\cdot 100$.

Jika $x$ adalah berat air yang hilang dari kentang ketika kentang mengalami dehidrasi $0.98(100-x)$ adalah berat air pada kentang yang mengalami dehidrasi, maka:

$0.99\cdot 100-0.98(100-x)=x$

Memperluas tanda kurung dan menyederhanakan

${\begin{aligned}99-(98-0.98x)&=x\\99-98+0.98x&=x\\1+0.98x&=x\end{aligned}}$

Mengurangi termin $x$ yang lebih kecil dari masing-masing sisi

${\begin{aligned}1+0.98x-0.98x&=x-0.98x\\1&=0.02x\end{aligned}}$

Maka jumlah air yang hilang adalah:

$50=x$

Dan berat kentang akhirnya adalah:

$100-x=100-50=50$

Metode 3

Setelah kentang kehilangan air, 98% kentang adalah air.

Hal ini menyiratkan bahwa persentase berat kentang non-air adalah $(1-.98)$.

Jika x adalah berat kentang setelah kadar airnya berkurang, maka:

${\begin{aligned}(1-.98)x&=1\\.02x&=1\\x&={\frac {1}{.02}}\\x&=50\end{aligned}}$

Implikasi

Jawabannya akan sama bila konsentrasi bagian non-air digandakan. Misalnya, jika kentang awalnya 99,999% air, mengurangi persentasenya menjadi 99,998% akan tetap membutuhkan separuh beratnya.

Paradoks Bahasa

Cara lain untuk menginterpretasikan persoalan awal, adalah dengan mengasumsikan bahwa 99% air mengacu pada volume, bukan berat kentang. Meskipun volume kentang masih akan dibagi dua, jawabannya tidak dapat diketahui, karena kita tidak mengetahui berat dari kentang padat. Misalnya, kentang padat mungkin memiliki berat 75 kg sendiri, dalam hal ini jawabannya tidak akan pernah bisa menjadi 50 kg, tidak peduli berapa banyak air yang diserap. Tetapi karena logika menyatakan bahwa paradoks harus memiliki jawaban yang valid, kita harus berasumsi bahwa 99% berat air adalah benar-benar air.

Hal ini kemudian bukan menjadi persoalan matematis lagi, tetapi terkait dengan pemahaman kita tentang bahasa dan logika yang digunakan untuk mendefinisikan pertanyaan itu. Kata-kata harus digunakan dengan cermat untuk memastikan bahwa "paradoks" ini benar.

Pranala luar

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Potato Paradox". MathWorld.