Fungsi rasional Chebyshev

Plot fungsi rasional Chebyshev untuk n = 0, 1, 2, 3, 4 dengan 0.01 ≤ x ≤ 100 dalam skala log.

Dalam matematika, fungsi rasional Chebyshev adalah urutan fungsi yang rasional dan ortogonal. Mereka dinamakan Pafnuty Chebyshev. Fungsi rasional Chebysev dengan derajat n didefinisikan sebagai:

$R_{n}(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ T_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)$

di mana T_n(x) adalah polinom Chebyshev bentuk pertama.

Sifat

Banyak sifat yang dapat diturunkan dari polinom Chebysev bentuk pertama.

Rekursi

$R_{n+1}(x)=2\,{\frac {x-1}{x+1}}R_{n}(x)-R_{n-1}(x)\quad {\text{for }}n\geq 1$

Persamaan diferensial

$(x+1)^{2}R_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n-1}(x)\quad {\text{for }}n\geq 2$

$(x+1)^{2}x{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}R_{n}(x)+{\frac {(3x+1)(x+1)}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n}(x)+n^{2}R_{n}(x)=0$

Ortogonalitas

Plot nilai absolut dari orde ketujuh (n = 7) fungsi rasional Chebyshev untuk 0.01 ≤ x ≤ 100. Perhatikan bahwa terdapat n nol yang tersusun secara simetris disekitar x = 1 dan jika x₀ adalah nol, maka 1x₀ adalah nol juga. Nilai maksimum diantara nol adalah satu. Sifat ini berlaku untuk semua orde.

Mendefinisikan:

$\omega (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}$

Ortogonalitas dari fungsi rasional Chebyshev dapat ditulis:

$\int _{0}^{\infty }R_{m}(x)\,R_{n}(x)\,\omega (x)\,\mathrm {d} x={\frac {\pi c_{n}}{2}}\delta _{nm}$

di mana c_n = 2 untuk n = 0 dan c_n = 1 untuk n ≥ 1; δ_nm adalah fungsi Kronecker delta.

Perluasan fungsi yang berubah-ubah

Untuk fungsi yang berubah-ubah f(x) ∈ L2ω hubungan ortogonalitas dapat digunakan untuk memperluas f(x):

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}R_{n}(x)$

dimana

$F_{n}={\frac {2}{c_{n}\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)R_{n}(x)\omega (x)\,\mathrm {d} x.$

Nilai khusus

${\begin{aligned}R_{0}(x)&=1\\R_{1}(x)&={\frac {x-1}{x+1}}\\R_{2}(x)&={\frac {x^{2}-6x+1}{(x+1)^{2}}}\\R_{3}(x)&={\frac {x^{3}-15x^{2}+15x-1}{(x+1)^{3}}}\\R_{4}(x)&={\frac {x^{4}-28x^{3}+70x^{2}-28x+1}{(x+1)^{4}}}\\R_{n}(x)&=(x+1)^{-n}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\binom {2n}{2m}}x^{n-m}\end{aligned}}$

Perluasan fraksi sebagian

$R_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {(m!)^{2}}{(2m)!}}{\binom {n+m-1}{m}}{\binom {n}{m}}{\frac {(-4)^{m}}{(x+1)^{m}}}$

Referensi

• Guo, Ben-Yu; Shen, Jie; Wang, Zhong-Qing (2002). "Chebyshev rational spectral and pseudospectral methods on a semi-infinite interval" (PDF). Int. J. Numer. Meth. Engng. 53: 65–84. CiteSeerX 10.1.1.121.6069 . doi:10.1002/nme.392. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2006-09-04. Diakses tanggal 2006-07-25.