Kinematika

Sudut rotasi terhadap sumbu tetap

Dalam fisika, kinematika adalah cabang dari mekanika klasik yang membahas gerak benda dan sistem benda tanpa mempersoalkan gaya penyebab gerakan. Kata kinematika dicetuskan oleh fisikawan Prancis A.M. Ampère cinématique yang ia ambil dari Yunani Kuno κίνημα, kinema (gerak), diturunkan dari κινεῖν, kinein. Hal terakhir ini berbeda dari dinamika atau sering disebut dengan Kinetika, yang mempersoalkan gaya yang memengaruhi gerakan.

Studi mengenai kinematika biasa disebut juga sebagai geometri gerak.

Kinematika Lintasan Partikel dalam Kerangka Acuan yang Tidak Berputar

Besaran kinematika untuk partikel klasik: massa m, posisi r, kecepatan v, percepatan a.

Kinematika partikel adalah studi yang mempelajari karakteristik gerak suatu partikel. Posisi suatu partikel didefinisikan sebagai vektor koordinat dari awal titik acuan ke partikel. Sebagai contoh, anggaplah ada sebuah menara setinggi 50 meter di sebelah selatan rumah anda, di mana titik acuannya adalah rumah anda, dengan timur sebagai sumbu-x dan utara sebagai sumbu-y, maka koordinat vektor menara tersebut adalah r=(0, -50, 0). Vektor koordinat di puncak menara adalah r=(0, -50, 50).

Dalam bentuk 3 dimensi, posisi titik r dapat dituliskan sebagai $\mathbf {r} =(x_{r},y_{r},z_{r})=x_{r}{\hat {\mathbf {i} }}+y_{r}{\hat {\mathbf {j} }}+z_{r}{\hat {\mathbf {k} }}$ dengan x_r, y_r, dan z_r adalah koordinat Kartesian dan i, j dan k adalah unit vektor yang mengikuti sumbu x, y, dan z. Besar dari vektor posisi |r| adalah jarak antara titik r dengan titik acuan, dapat dituliskan sebagai $|\mathbf {r} |={\sqrt {x_{r}^{\ 2}+y_{r}^{\ 2}+z_{r}^{\ 2}}}$.

Trajektori dari sebuah partikel adalah fungsi vektor terhadap waktu, r(t), yang mendefinisikan kurva yang dibentuk dari partikel yang bergerak, yang akan memberikan persamaan $\mathbf {r} (t)=x_{r}(t){\hat {\mathbf {i} }}+y_{r}(t){\hat {\mathbf {j} }}+z_{r}(t){\hat {\mathbf {k} }}$, dengan koordinat xr, yr, dan zr masing-masing adalah fungsi waktu.

Kecepatan dan kelajuan

Kecepatan sebuah partikel adalah vektor yang menunjukkan arah dan besar dari perubahan posisi vektor, bagaimana posisi sebuah benda berpindah tiap waktu. Anggap rasio perbedaan 2 posisi partikel dibagi dalam interval waktu sama, maka kecepatan rata-rata pada interval tersebut adalah ${\overline {\mathbf {v} }}={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}\,$dengan Δr adalah perubahan posisi vektor per selang waktu Δt.

Ketika limit interval waktu Δt menjadi semakin kecil, maka kecepatan rata-rata menjadi turunan waktu dari posisi vektor

${\overline {\mathbf {v} }}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}={\dot {x}}_{r}{\vec {i}}+{\dot {y}}_{r}{\vec {j}}+{\dot {z}}_{r}{\vec {k}}$.

Maka, kecepatan adalah besarnya perubahan posisi Δr per satuan waktu Δt.

Kelajuan dari suatu objek adalah besar |v| dari suatu kecepatan. Kelajuan merupakan besaran skalar

$v=|\mathbf {v} |=|{\dot {\mathbf {r} }}|={\frac {ds}{dt}},$

dengan s adalah total panjang lintasan busur yang ditempuh partikel. Kelajuan ds/dt adalah besaran yang selalu bernilai positif.

Percepatan

Vektor kecepatan dapat berubah besar dan arahnya atau keduanya sekaligus. Oleh karena itu, percepatan memperhitungkan laju perubahan besaran vektor kecepatan dan laju perubahan arah vektor itu. Alasan yang sama yang digunakan sehubungan dengan posisi partikel untuk menentukan kecepatan, dapat diterapkan pada kecepatan untuk menentukan percepatan. Percepatan partikel adalah vektor yang ditentukan oleh laju perubahan vektor kecepatan. Percepatan rata-rata partikel selama selang waktu didefinisikan sebagai rasio.

${\overline {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}$

dimana Δv adalah selisih vektor kecepatan dan Δt adalah selang waktu.

Percepatan partikel adalah batas percepatan rata-rata ketika selang waktu mendekati nol, yang merupakan turunan waktu, ${\overline {\mathbf {a} }}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\dot {\mathbf {v} }}={\dot {v}}_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {v}}_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {v}}_{z}{\hat {\mathbf {k} }}$

atau

${\overline {\mathbf {a} }}={\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\ddot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\ddot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}$.

Jadi, percepatan rata-rata adalah turunan pertama dari vektor kecepatan dan turunan kedua dari vektor posisi partikel itu. Perhatikan bahwa dalam kerangka acuan yang tidak berputar, turunan dari arah koordinat tidak dianggap sebagai arah dan besarnya adalah konstanta. Besar percepatan suatu benda adalah besaran |a| dari vektor percepatannya. Ini adalah besaran skalar:

$|\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {dv}{dt}}.$

Vektor posisi relatif

Dapat ditunjukkan dengan persamaan matematika vektor sederhana berikut yang memperlihatkan suatu penjumlahan vektor: gerak $A$ relatif terhadap $O$ sama dengan gerak relatif $B$ terhadap $O$ ditambah dengan gerak relatif $A$ terhadap $B$:

$r_{A/O}=r_{B/O}+r_{A/B}\,\!$

Gerakan Koordinat

Salah satu persamaan dasar dalam kinematika adalah persamaan yang menggambarkan tentang turunan dari sebuah vektor yang berada dalam suatu sumbu koordinat bergerak. Yaitu: turunan terhadap waktu dari sebuah vektor relatif terhadap suatu koordinat diam, sama dengan turunan terhadap waktu vektor tersebut relatif terhadap koordinat bergerak ditambah dengan hasil perkalian silang dari kecepatan sudut koordinat bergerak dengan vektor itu. Dalam bentuk persamaan:

$\left.{\frac {dr(t)}{dt}}\right|_{X,Y,Z}=\left.{\frac {dr(t)}{dt}}\right|_{x,y,z}+\omega \times r(t)$

di mana:

$r(t)$ adalah sebuah vektor

$X,Y,Z$ adalah sebuah sumbu koordinat tetap / tak bergerak

$x,y,z$ adalah sebuah sumbu koordinat berputar

$\omega$ adalah kecepatan sudut perputaran koordinat

Kecepatan relatif

Kecepatan satu titik relatif terhadap yang lain adalah perbedaan antara kecepatan mereka $\mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}$ yang merupakan perbedaan antara komponen kecepatan mereka. Jika titik A memiliki komponen kecepatan $\mathbf {v} _{A}=\left(v_{A_{x}},v_{A_{y}},v_{A_{z}}\right)$ dan titik B memiliki komponen kecepatan $\mathbf {v} _{B}=\left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}\right)$ maka kecepatan titik A relatif terhadap titik B adalah selisih antara komponen-komponennya $\mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}=\left(v_{A_{x}}-v_{B_{x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)$. Sebagai alternatif, hasil yang sama ini dapat diperoleh dengan menghitung turunan waktu dari vektor posisi relatif r_B/A.

Mencari kecepatan v dan perpindahan x dari percepatan a dengan persamaan kinematika dari kalkulus integral

Source:

Percepatan partikel a adalah fungsi waktu yang diketahui. Karena turunan waktu dari fungsi kecepatan v adalah percepatan, ${\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {a}$,

memberikan integral tak tentu pada kedua sisi, memberikan

$\int d\mathbf {v} =\int \mathbf {a} dt+C_{1}$,

dimana C₁ adalah konstanta integrasi. $\int d\mathbf {v} =\mathbf {v}$ dan $\int \mathbf {a} dt=\mathbf {a} t$, maka kecepatan adalah

$\mathbf {v} =\mathbf {a} t+C_{1}.$

Jika kecepatan awal adalah v₀ dan t=0, maka

$\mathbf {v} _{0}=\mathbf {a} (0)+C_{1}$,

sehingga $\mathbf {v} _{0}=C_{1}$. Subtitusikan $\mathbf {v} _{0}=C_{1}$ ke dalam $\mathbf {v} =\mathbf {a} t+C_{1}$, sehingga

$\mathbf {v} =\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}$.

Sistem Koordinat

Sistem Koordinat Diam

Pada sistem koordinat ini, sebuah vektor digambarkan sebagai suatu penjumlahan dari vektor-vektor yang searah dengan sumbu $X$, $Y$, atau $Z$. Umumnya ${\vec {i}}\,\!$ adalah sebuah vektor satuan pada arah $X$, ${\vec {j}}\,\!$ adalah sebuah vektor satuan pada arah $Y$, dan ${\vec {k}}\,\!$ adalah sebuah vektor satuan pada arah $Z$.

Vektor posisi ${\vec {s}}\,\!$ (atau ${\vec {r}}\,\!$), vektor kecepatan ${\vec {v}}\,\!$ dan vektor percepatan ${\vec {a}}\,\!$, dalam sistem koordinat Kartesius digambarkan sebagai berikut:

${\vec {s}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}\,\!$

${\vec {v}}={\dot {s}}={\dot {x}}{\vec {i}}+{\dot {y}}{\vec {j}}+{\dot {z}}{\vec {k}}\,\!$

${\vec {a}}={\ddot {s}}={\ddot {x}}{\vec {i}}+{\ddot {y}}{\vec {j}}+{\ddot {z}}{\vec {k}}\,\!$

catatan: ${\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}$, ${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

Sistem Koordinat Bergerak 2 Dimensi

Sistem koordinat ini hanya menggambarkan gerak bidang yang berbasis pada 3 vektor satuan orthogonal yaitu vektor satuan ${\vec {i}}\!$, dan vektor satuan ${\vec {j}}\!$ sebagai sebuah bidang di mana suatu objek benda berputar terletak/berada, dan ${\vec {k}}\!$ sebagai sumbu putarnya.

Berbeda dengan sistem koordinat Kartesius di atas, di mana segala sesuatunya diukur relatif terhadap datum yang tetap dan diam tak berputar, datum dari koordinat-koordinat ini dapat berputar dan berpindah - mengikuti gerakan dari benda atau partikel pada suatu benda yang diamati. Hubungan antara koordinat diam dan koordinat berputar dan bergerak ini dapat dilihat lebih rinci pada Transformasi Orthogonal.

Bacaan lebih lanjut

• Kanginan, Marthen (2006). Fisika 2 untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga. ISBN 978-979-781-731-2.  (Indonesia)