Homeomorfisme

Sebuah deformasi kontinu antara cangkir kopi dan donat (torus) menggambarkan bagaimana keduanya saling homeomorfik.

Dalam cabang matematika bidang topologi, homeomorfisme atau isomorfisme topologi atau fungsi dwikontinu atau dwimalar adalah fungsi kontinu antara ruang topologi yang memiliki fungsi invers yang juga kontinu. Homeomorfisme adalah isomorfisme dalam kategori ruang topologi. Dua ruang topologi dengan sebuah homeomorfisme antara keduanya disebut homeomorfik. Kata homeomorfisme berasal dari kata-kata bahasa yunani ὅμοιος (homoios) = mirip atau sama dan μορφή (morphē) = bentuk, bentuk, diperkenalkan di dalam matematika oleh Henri Poincaré pada tahun 1895.

Secara kasar, sebuah ruang topologi adalah objek geometri, dengan homeomorfisme-nya adalah tekukan dan regangan secara malar ke bentuk yang baru. Sehingga, persegi dan lingkaran merupakan homeomorfik satu sama lain, tapi tidak dengan kulit bola dan torus. Namun, deskripsi ini dapat menjerumuskan. Beberapa deformasi malar bukanlah sebuah homeomorfisme, misalnya pengkerutan garis menjadi titik. Beberapa homeomorfisme bukanlah deformasi malar, misalkan homeomorfisme antara simpul trefoil dan lingkaran.

Salah satu lelucon matematika yang sering diulang-ulang adalah seorang topologis tidak bisa membedakan antara cangkir kopi dan donat, dikarenakan donat yang cukup lunak dapat dibentuk menjadi cangkir kopi dengan membuat sebuah cekungan yang kemudian dibesarkan sembari menjaga tetap ukuran lubang donat sebagai gagang cangkir.

Definisi

Sebuah fungsi $f:X\to Y$ antara dua ruang topologi $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ dan $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ disebut homeomorfisme jika memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

• $f$ adalah bijeksi (injektif dan surjektif),
• $f$ adalah fungsi kontinu,
• inversnya $f^{-1}$ kontinu. ($f$ adalah pemetaan terbuka)

Fungsi dengan tiga sifat ini disebut juga dwikontinu. Jika terdapat fungsi dengan sifat-sifat tersebut, kita katakan $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ dan $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ adalah homeomorfik. Sebuah swahomeomorfisme atau otohomeomorfisme merupakan homeomorfisme dari sebuah ruang topologi ke dirinya sendiri. Homeomorfisme membentuk sebuah hubungan kesetaraan dalam sebuah kelas atau keluarga ruang topologi. Kelas kesetaraan ini disebut kelas homeomorfisme.

Contoh

Sebuah simpul trefoil homeomorfik dengan torus, tapi tidak isotopik (setara secara homotopi) di R³. Pemetaan kontinu tidak selalu bisa direalisasikan sebagai deformasi. Simpul ditebalkan untuk membuat gambar mudah dipahami.

• Interval terbuka ${\textstyle (a,b)}$ homeomorfik dengan garis bilangan riil ${\textstyle \mathbf {R} }$. (dalam kasus ini salah satu pemetaan bikontinu diberikan oleh ${\textstyle f(x)={\frac {1}{a-x}}+{\frac {1}{b-x}}}$ dimana pemetaan lain bisa juga diberikan oleh fungsi tan or arg tanh yang telah dibesar-kecilkan dan digeser).
• Cakram satuan ${\textstyle D^{2}}$ dan persegi satuan (persegi dengan panjang sisi 1 dan isinya) di R² saling homeomorfik; karena cakram dan persegi bisa dideformasi satu sama lain. Salah satu contoh pemetaan dwikontinu dari persegi ke cakram diberikan oleh, dalam koordinat polar, $(\rho ,\theta )\mapsto \left(\rho \max(|\cos \theta |,|\sin \theta |),\theta \right)$.
• Kurva dari fungsi yang dapat diturunkan homeomorfik dengan domain fungsi itu sendiri.
• Sebuah parametrisasi dari kurva merupakan homeomorfisme antara domain parametrisasi dan kurva tersebut.
• Sebuah peta dari sebuah manifold adalah homeomorfisme antara himpunan terbuka dari manifold dengan sebuah himpunan terbuka dari ruang Euklides.
• Proyeksi stereografik merupakan homeomorfisme antara kulit bola di R³ dengan salah satu titiknya dihilangkan, dengan seluruh titik di R².
• Jika $G$ adalah sebuah grup topologis, peta inversinya $x\mapsto x^{-1}$ merupakan sebuah homeomorfisme. Juga, untuk sembarang $x\in G$, pergeseran kiri $y\mapsto xy$, pergeseran kanan $y\mapsto yx$, dan otomorfisme dalamnya (transformasi konjugat) $y\mapsto xyx^{-1}$ merupakan homeomorfisme.

Contoh Bukan

• R^m dan Rⁿ tidak homeomorfik untuk m ≠ n.
• Garis bilangan riil tidak homeomorfik dengan lingkaran jika keduanya dianggap sebagai subruang dari R², karena lingkaran bersifat kompak dalam topologi biasa R² tapi tidak dengan garis bilangan riil.

Catatan

Syarat ketiga, yaitu ${\textstyle f^{-1}}$ supaya kontinu, sangat penting. Misalkan sebuah fungsi ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ (lingkaran dalam ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$) yang didefinisikan sebagai${\textstyle f(\phi )=(\cos \phi ,\sin \phi )}$. Fungsi ini bijektif dan kontinu, tapi bukan merupakan sebuah homeomorfisme (${\textstyle S^{1}}$ bersifat kompak tetapi ${\textstyle [0,2\pi )}$ tidak kompak). Fungsi ${\textstyle f^{-1}}$ tidak kontinu pada titik${\textstyle (1,0)}$, dikarenakan meskipun ${\textstyle f^{-1}}$ memetakan ${\textstyle (1,0)}$ ke ${\textstyle 0}$, seluruh tetangga dari titik ini juga mengandung titik-titik yang oleh fungsi invers ini dipetakan dekat dengan ${\textstyle 2\pi }$, tapi titik-titik tersebut berada di luar tetangga ${\textstyle 2\pi }$.

Homeomorfisme adalah isomorfisme dalam kategori ruang topologi. Dengan demikian, komposisi dari dua homeomorfisme juga merupakan homeomorfisme, dan himpunan dari semua swahomeomorfisme ${\textstyle X\to X}$ membentuk sebuah grup, yang disebut grup homeomorfisme dari X, yang sering dilambangkan ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$. Grup ini dapat diberikan topologi, seperti topologi kompak-terbuka, dimana dengan asumsi-asumsi tertentu dapat membuatnya menjadi grup topologis.

Untuk beberapa tujuan, grup homeomorfisme mungkin terlalu besar, tapi dengan hubungan isotopi, kita bisa mengurangi grup ini menjadi grup kelas pemetaan.

Seperti biasanya dalam teori kategori, jika diberikan dua ruang yang saling homeomorfik, ruang homeomorfisme antara keduanya, ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y)}$adalah sebuah torsor untuk grup homeomorfisme ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$ dan ${\textstyle {\text{Homeo}}(Y)}$dan, dengan menentukan sebuah homeomorfisme antara $X$ dan $Y$ketiga himpunan dapat diidentifikasi.

Sifat-sifat

• Dua ruang yang homeomorfik juga memiliki sifat-sifat topologi yang sama. Misalkan, jika salah satu dari mereka kompak, maka yang lainnya juga kompak; jika salah satunya terhubung, maka yang lainnya juga terhubung; jika salah satunya Hausdorff, maka yang lainnya juga; grup homotopi dan homologi antara keduanya juga akan sama. Yang perlu dicatat adalah kesetaraan ini tidak diturunkan ke sifat yang didefinisikan melalui metrik; terdapat ruang-ruang metrik yang saling homeomorfik padahal salah satu dari mereka lengkap dan yang lainnya tidak.
• Sebuah homeomorfisme adalah pemetaan terbuka dan sekaligus pemetaan tertutup; yaitu, ia memetakan ruang terbuka ke ruang terbuka dan ruang tertutup ke ruang tertutup.
• Setiap swahomeomorfisme dalam lingkaran $S^{1}$ dapat diperluas menjadi sebuah swahomeomorfisme di dalam cakram $D^{2}$ (trik Alexander). Secara umum setiap swahomeomorfisme dalam kulit bola $S^{n-1}$bisa diperluas menjadi sebuah swahomeomorfisme dalam bola pejal atau cakram $D^{n}$.

Diskusi informal

Kriteria intuitif untuk meregangkan, menekuk, memotong, dan merekatkan kembali membutuhkan sejumlah latihan untuk diterapkan dengan benar mungkin tidak jelas dari uraian di atas bahwa penggundulan. Oleh karena itu, penting untuk disadari bahwa definisi formal yang diberikan di atas lah yang diperhitungkan. Dalam kasus ini, misalnya, ruas garis memiliki banyak titik yang tak terhingga, dan oleh karena itu tidak dapat dimasukkan ke dalam bijection dengan himpunan yang hanya berisi sejumlah poin terbatas, termasuk satu poin.

Karakterisasi homeomorfisme ini sering menimbulkan kebingungan dengan konsep homotopi, yang sebenarnya didefinisikan sebagai deformasi berkelanjutan, tetapi dari satu fungsi ke yang lain, daripada satu ruang ke ruang lainnya. Dalam kasus homeomorfisme, membayangkan deformasi berkelanjutan adalah alat mental untuk melacak titik mana pada ruang X sesuai dengan titik mana pada Y hanya mengikuti mereka sebagai X berubah bentuk. Dalam kasus homotopi, deformasi kontinu dari satu peta ke peta lainnya adalah yang terpenting, dan juga tidak terlalu ketat, karena tidak ada peta yang terlibat harus satu-ke-satu atau ke atas. Homotopi menyebabkan hubungan pada ruang: kesetaraan homotopi.

Ada nama untuk jenis deformasi yang terlibat dalam memvisualisasikan homeomorfisme. Ini adalah (kecuali jika diperlukan pemotongan dan pengeleman) sebuah isotop antara peta identitas pada X dan homeomorfisme dari X ke Y .

Lihat pula

• Homeomorfisme lokal
• Difeomorfisme
• Uniform isomorphism adalah isomorfisme antara ruang seragam
• Isomorfisme isometrik adalah isomorfisme antara ruang metrik
• Grup homeomorfisme
• Dehn twist
• Homeomorfisme (teori grafik) (terkait erat dengan subdivisi grafik)
• Homotopi#Isotop
• Memetakan grup kelas
• Poincaré conjecture
• Homeomorfisme universal

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Homeomorphism", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Homeomorphism, PlanetMath.org.