Lompat ke isi

Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terbesar
Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terkecil
Grafik mengenai fungsi bagian bilangan bulat.

Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, suatu fungsi dikatakan fungsi atap (ceiling function), dinotasikan oleh , adalah fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan [1]. Sebagai contoh, nilai dari . Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil[2].

Sebaliknya, suatu fungsi dikatakan fungsi lantai (floor function), dinotasikan oleh , adalah fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan [1]. Sebagai contoh, nilai dari . Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar[2].

Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

dan .[1]

Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (bahasa Inggris: integer part), di mana bilangan riil yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan atau terkadang dinotasikan sebagai [3] dan dirumuskan sebagai[3][4]

.

Untuk memahami lebih lanjut, tinjau yang bernilai , maka . Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, .

Fungsi atap dan lantai dikenal masuk dalam bagian bilangan bulat.[5] Namun, bagian bilangan bulat juga digunakan untuk pemotongan bilangan bulat mendekati 0 pada bilangan bulat negatif, yang berbeda dengan fungsi lantai di bilangan negatif.

Bagian bilangan bulat didefinisikan oleh Adrien-Marie Legendre pada tahun 1798. Selanjutnya, Carl Friedrich Gauss memperkenalkan penggunaan notasi tanda kurung kotak[5] untuk menuliskan fungsi bilangan bulat terbesar. Namun, tidak ada notasi standar untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil.[6] Beberapa penulis bahkan menggunakan notasi untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil, yang tidak menjadi standar.[6]

Pada tahun 1962, Kenneth Eugene Iverson memperkenalkan fungsi atap dan lantai dalam bukunya, A Programming Language.[7] Penggunaan notasi ini dipopulerkan oleh Donald Ervin Knuth[8] yang sekarang menjadi standar penggunaan dalam berbagai artikel teknis tanpa perlu penjelasan fungsi tersebut.[6]

Sifat dan identitas

[sunting | sunting sumber]

Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:[9]

  • untuk suatu bilangan real.
  • dan jika dan hanya jika adalah bilangan bulat.
  • jika adalah bilangan real dan bila bilangan bulat.
  • Untuk suatu bilangan bulat, .

Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain

Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:[10][11][12]

  • untuk adalah bilangan bulat.

Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila adalah bilangan bulat. Bila bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana[13], yakni bernilai 0.

Dalam integral, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai

  • .[14]

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,

  • .[15]

Representasi deret

[sunting | sunting sumber]

Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:

  • Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

asalkan bilangan real dan bukan bilangan bulat.[16]

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.

  • Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

asalkan bilangan real dan bukan bilangan bulat.[17]

  1. ^ a b c Sukardi, mathcyber1997.com: Materi, Soal, dan Pembahasan - Fungsi Lantai dan Fungsi Atap. Diakses pada 5 Agustus 2023.
  2. ^ a b Gatot Muhsetyo (2019). Matematika Diskrit. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 9786023924127. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-06-02. Diakses tanggal 2023-05-22. 
  3. ^ a b Weisstein, Eric W. "Integer Part". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-06-23. Diakses tanggal 2021-11-17. 
  4. ^ "integer part". planetmath.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-05-06. Diakses tanggal 2021-11-16. 
  5. ^ a b "Floor and ceiling functions explained". everything.explained.today. Diakses tanggal 2024-06-17. 
  6. ^ a b c Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994-02-28). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (dalam bahasa Inggris). Addison-Wesley Professional. hlm. 65. ISBN 978-0-13-438998-1. 
  7. ^ Iverson, Kenneth E. (1962). A Programming Language (dalam bahasa Inggris). Wiley. hlm. 12. ISBN 978-0-471-43014-8. 
  8. ^ "1.4: The Floor and Ceiling of a Real Number". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2021-08-14. Diakses tanggal 2024-06-17. 
  9. ^ "Properties of Floors and Ceilings". www.bookofproofs.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-16. Diakses tanggal 2021-11-16. 
  10. ^ Luke Heaton, A Brief History of Mathematical Thought, 2015, ISBN 1472117158 (n.p.)
  11. ^ Albert A. Blank et al., Calculus: Differential Calculus, 1968, hlm. 259
  12. ^ John W. Warris, Horst Stocker, Handbook of mathematics and computational science, 1998, ISBN 0387947469, hlm. 151
  13. ^ "Differentiable". www.mathsisfun.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-03-09. Diakses tanggal 2021-11-24. 
  14. ^ "Floor function: Integration (subsection 21/01/01)". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-09-13. Diakses tanggal 2021-11-24. 
  15. ^ "Ceiling function: Integration (subsection 21/01/01)". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-24. Diakses tanggal 2021-11-24. 
  16. ^ "Floor function: Series representations (subsection 06/01)". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-26. Diakses tanggal 2021-11-26. 
  17. ^ "Ceiling function: Series representations". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-24. Diakses tanggal 2021-11-26.