Geodesik dalam relativitas umum

Dalam relativitas umum, geodesik adalah generalisasi dari gagasan "garis lurus" ke ruang waktu yang melengkung. Garis dunia dari sebuah partikel yang terbebas dari semua gaya luar non-gravitasi merupakan sebuah jenis geodesik. Dengan kata lain, partikel yang bergerak atau jatuh bebas selalu bergerak melalui sebuah geodesik.

Dalam relativitas umum, gravitasi bisa dianggap bukan sebagai sebuah gaya melainkan sebuah akibat dari geometri ruang waktu yang melengkung dengan penyebab lengkungannya adalah tensor tegangan–energi (yang, sebagai contoh, melambangkan suatu zat). Jadi, sebagai contoh, lintasan dari planet yang mengelilingi bintang adalah proyeksi dari geodesik geometri ruang waktu empat dimensi lengkung di sekitar bintang ke ruang tiga dimensi.

Eksperesi matematis

Persamaan geodesik yang lengkap adalah

${d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\$

di mana s adalah parameter skalar dari gerakan (misalnya waktu wajar), dan $\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }$ adalah simbol Christoffel (terkadang disebut koefisien hubungan afin atau koefisien hubungan Levi-Civita) simetris dalam keduan indeks bawahnya. Indeks Yunaninya bisa berisi nilai-nilai: 0, 1, 2, 3 dan konvensi penjumlahan digunakan untuk indeks $\alpha$ dan $\beta$ yang berulang. Kuantitas di sisi kiri persamaan ini adalah percepatan partikel, jadi persamaan ini beranalof dengan hukum gerak Newton, yang juga memberikan rumus untuk percepatan partikel. Persamaan gerak ini menggunakan notasi Einstein, artinya indeks yang berulang dijumlahkan. Simbol Christoffel merupakan fungsi empat koordinat ruang waktu sehingga tidak bergantung pada kecepatan, percepatan ataupun sifat-sifat lain dari partikel yang gerakannya dijelaskan menggunakan persamaan geodesik.

Ekspresi matematika ekivalen menggunakan waktu koordinat sebagai keliling

Sejauh ini persamaan gerak geodesik telah ditulis dalam keliling skalar s. Sebagai alternatif dapat ditulis dalam bentuk koordinat waktu $w\equiv x^{0}$ (di sini kami telah menggunakan bilah tiga untuk menandakan definisi). Persamaan gerak geodesik kemudian menjadi:

${d^{2}x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .$

Rumus pada persamaan gerak geodesik tersebut dapat berguna untuk kalkulasi komputer dan untuk membandingkan relativitas umum dengan gravitasi Newton. Sangat mudah untuk menurunkan bentuk persamaan geodesik dalam bentuk gerak dari waktu yang tepat sebagai keliling nya dengan menggunakan aturan rantai. Perhatikan bahwa kedua sisi persamaan terakhir tersebut akan lenyap jika indeks kamu disetel ke nol. Jika kecepatan partikel cukup kecil, maka persamaan geodesik berkurang menjadi:

${d^{2}x^{n} \over dt^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{00}.$

Di sini indeks Latin n mengambil nilai [1,2,3]. Persamaan tersebut berarti bahwa semua partikel uji pada tempat dan waktu tertentu akan memiliki percepatan yang sama, salah satunya ciri gaya gravitasi Newtonian yang terkenal. Misalkan, segala sesuatu yang mengambang di stasiun luar angkasa internasional akan mengalami percepatan kira-kira sama karena gravitasi.

Lihat pula

• Geodesik
• Geodesik Schwarzschild
• Geodesik sebagai aliran Hamilton