Grup (matematika)

Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan, yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut aksioma grup. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.

Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat-sifat sistem-sistem ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.

Asal-usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkrit, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori bentuk-bentuk kuadrat.

Sejarah

Lihat teori grup.

Definisi

Suatu grup adalah suatu himpunan $G$ beserta satu operasi biner $*$ yang memenuhi aksioma-aksioma grup berikut:

• Ketertutupan (closure) : untuk setiap $a,b\in G$, berlaku $a*b\in G$.
• Sifat asosiatif : untuk setiap $a,b,c\in G$, berlaku $(a*b)*c=a*(b*c)$.
• Unsur identitas : terdapat suatu $i\in G$ sehingga untuk setiap $a\in G$ berlaku $a*i=i*a=a$ (dapat dibuktikan bahwa dalam grup manapun hanya terdapat satu unsur identitas).
• Unsur invers : untuk setiap $a\in G$, terdapat suatu $b\in G$ sehingga $a*b=b*a=i$, di mana $i$ adalah unsur identitas (dapat dibuktikan bahwa setiap unsur $G$ memiliki tepat satu unsur invers).

Notasi grup

Suatu grup yang terdiri atas himpunan $G$ dan operasi $*$ dapat ditulis $(G,*)$.

Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis seperti perkalian (notasi perkalian):

• Kita menulis $a\cdot b$, atau bahkan $ab$, untuk $a*b$.
• Kita menulis $1$ untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
• Kita menulis $a^{-1}$ untuk invers $a$ dan menyebutnya kebalikan dari $a$.

Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari penjumlahan dan ditulis seperti penjumlahan (notasi penjumlahan):

• Kita menulis $a+b$ untuk $a*b$ dan menyebutnya jumlah $a$ dan $b$.
• Kita menulis $0$ untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
• Kita menulis $-a$ untuk invers $a$ dan menyebutnya lawan dari $a$.

Biasanya, hanya grup abelian (grup yang operasinya komutatif untuk setiap dua anggota himpunan grup tersebut) yang ditulis dalam bentuk penjumlahan walaupun grup tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian. Ketika bersifat noncommittal, kita dapat menggunakan notasi (dengan $*$) dan istilah yang dikemukakan dalam definisi menggunakan notasi $a^{-1}$ sebagai invers dari $a$.

Bila $S$ adalah sub himpunan dari $G$ dan $x$ elemen dari $G$ maka dalam notasi perkalian $xS$ merupakan himpunan dari semua hasil perkalian $xs$ untuk $s$ dalam $S$ (dengan kata lain, $xS=\{xs|s\in S\}$). Hal yang sama juga dapat dilihat pada notasi $Sx=\{sx|s\in S\}$, dan untuk dua sub himpunan $S$ dan $T$ dari $G$ kita dapat menulis $ST$ untuk $\{st|s\in S,t\in T\}$. Dalam notasi penjumlahan, kita menuliskan $x+S,S+x,$ dan $S+T$ untuk masing-masing pasangan.

Beberapa contoh elemen dan bukan contoh

Sebuah grup abelian : bilangan bulat terhadap penjumlahan

Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan “’Z”’ merupakan himpunan bilangan bulat, {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} dan simbol “+” sebagai operasi penjumlahan. Dengan demikian, (“’Z”’,+) merupakan suatu grup.

Bukti :

    * Bila “a” dan “b” merupakan bilangan  bulat maka “a” + “b” juga merupakan bilangan bulat.
    *Bila “a”, “ b”, dan “c” adalah bilangan bulat maka (“a” + “b”) + “c”  = “ a” + (“b”+”c”) (sifat asosiatif)
    *0 adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat “a”,  0 +” a” = “a”. (elemen identitas)
    *Bila  “a”  sebuah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat “b” = -“a” sedemikian   sehingga “a” + “b”  =  “b” +” “a = 0 (elemen invers)

Grup ini juga merupakan abelian : “a” +” b” = “b” + “a”.

Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar cincin yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari cincin apa saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari cincin.

“Bukan” grup : bilangan bulat terhadap perkalian

Bilangan bulat terhadap perkalian yang dilambangkan dengan “ “’ ×’” ” Maka (“’Z’”, “’ ×’” ) bukan sebuah grup :

       *Bila “a” dan “b” bilangan bulat maka “a” “’ ×’”  “b” merupakan bilangan bulat
       *Bila “a”, “b”, dan “c” bilangan bulat maka (“a”“’ ×’”  “b”) “’ ×’” “c” = “a”“’ ×’” (“b”“’ ×’” “c”) (sifat asosiatif)
       *1 adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat “a”, 1 “’ ×’” “a” = “a”“’ ×’” 1 = “a” (elemen identitas)
       *Tetapi, bila “a” sebaramg bilangan bulat bukan 0 maka tidak ada bilangan bulat  
        bukan 0 yang memenuhi “a””b” = “b””a” = 1. Sebagai contoh, misalkan “a” = 2 maka 
        berapapun “b” (bilangan bulat bukan 0) maka |”a””b”| = |2”b”| ³2 > 1. (elemen invers tidak memenuhi)

Karena tidak semua elemen dari (“’Z’”, “’ ×’”) mempunyai invers maka (“’Z’”, “’ ×’”) bukan merupakan grup. Kita dapat menyebut (“’Z’”, “’ ×’”) sebuah monoid komutatif.

Sebuah grup abelian : bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian

Misalkan “’Q’” sebagai himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan “a”/”b” dengan “a” dan “b” merupakan bilangan bulat dan”b” bukan nol. Misalkan pula operasi perkalian dinyatakan dengan simbol ““’ ×’” ”. Karena bilangan rasional 0 tidak memiliki invers untuk perkalian maka (“’Q’”, “’ ×’”), sebagaimana juga (“’Z’”, “’ ×’”) bukan sebuah grup.

Akan tetapi, kalau kita menggunakan himpunan “’Q’” \ {0}, yang mencakup setiap bilangan rasional “kecuali nol “ maka (“’Q’”\{0},“’ ×’”) merupakan grup abelian. Invers “a”/”b” adalah “b”/”a” dan aksioma grup lainnya mudah diperiksa kebenarannya. Kita tidak kehilangan closure dengan menghilangkan nol karena hasil kali dua bilangan rasional tidak nol tidak akan pernah nol.

Sama seperti bilangan bulat yang membentuk cincin, demikian juga bilangan rasional yang membentuk struktur aljabar dari bidang. Sebenarnya, elemen bukan nol dari medan apapun akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut “grup perkalian” dari bidang.

Grup bukan belian tertentu : permutasi dari himpunan

Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula diletakkan dengan susunan MHB. Misalkan “a” merupakan aksi “menukarkan blok pertama dan blok kedua” dan “b” aksi “menukarkan blok kedua dan ketiga”.

Dalam bentuk perkalian, kita menuliskan “x””y” untuk aksi “pertama kali lakukan “y” kemudian lakukan “x” ” sehingga “a””b” adalah aksi MHB ®MBH®BMH yaitu “ambil blok terakhir dan pindahkan ke depan”. Bila kita menuliskan “e” untuk aksi “ biarkan blok sebagaimana adanya” (aksi identitas) maka kita dapat menulis enam permutasi dari himpunan tiga blok sebagai berikut :

   * e : MHB  ®    MHB
   * a : MHB   ®   HMB
   *b :  MHB   ®     MBH
   * ab  : MHB    ®    BMH
   *ba  :  MHB  ®      HBM
   *aba : MHB    ®     BHM

Perhatikan bahwa aksi “a””a” akan menyebabkan MHB ® HMB ® MHB atau aksi tersebut sama saja dengan aksi “biarkan blok sebagaimana adanya”. Dengan demikian, kita dapat menuliskan “a””a” = “e”. Demikian pula,

   * “b””b” = “e”
   *(“a””b””a”)(“a””b””a”) = “e” dan
   *(“a””b”)(“b””a”) = (“b””a”)(“a””b”) = “e”.

Jadi, tiap aksi di atas mempunyai sebuah invers.

Dengan menyelidiki, kita juga dapat menentukan sifat asosiatif dan closure. Sebagai contoh perhatikan,

         *(“a””b”)”a” = “a”(“b””a’) = “a””b””a”, dan
         *(“b””a”)”b” = “b”(“a””b”) = “a””b””a”.

Grup ini disebut simetri grup pada tiga huruf, atau “S”3. Grup tersebut mempunyai orde 6 ( atau 3 “faktorial”), dan bukan merupakan grup abelian (karena sebagai contoh “a””b” ≠ “b””a”). Karena “S”3 dibangun dari aksi dasar “a” dan “b” maka kita dapat mengatakan bahwa himpunan {“a”,”b”} membangun “S”3.

Setiap grup dapat diungkapkan dalam grup permutasi seperti “S”3. Hasilnya merupakan Teorema Cayley dan dipelajari sebgai bagian dari subyek aksi grup.

Contoh lanjutan

Untuk beberapa contoh lanjutan dari grup untuk berbagai aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.

Teori sederhana

    *Sebuah grup mempunyai hanya satu elemen identitas.
    *Setiap elemen mempunyai hanya satu invers.
    *Kita dapat membagi grup yaitu elemen grup “a” dan “b” dari grup “G”, hanya ada satu solusi “x” dalam “G” terhadap persamaan “x”*”a” =”b” dan hanya satu solusi “y” dalam “G” 
 untuk persamaan “a”*”y” = “b”.
   *Ungkapan “ “a”1*”a”2*...”a”n ”  tidak ambigius karena hasilnya akan sama dimana saja kita menempatkan tanda kurung.
   *Invers perkalian adalah hasil kali invers dalam susunan terbalik : (“a”*”b”)-1 = “b”-1 *”a”-1.

Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlaku untuk semua grup tertentu yang membentuk bidang dari teori grup elementer.

Membuat grup baru dari suatu grup tertentu

1. Bila sebuah sub himpunan “H” dari grup (“G”,*)
2. Hasil kali dari dua grup (“G”,*) dan (“H”, “’ ×’”) merupakan himpunan “G”x”H” bersama dengan operasi (“g”1,”h”1)(“g”2,”h”2) = (“g”1*”g”2,”h”1 “’ ×’” “h”2)
3. “Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup merupakan sub grup perkalian yang diwakilkan oleh elemen-elemen yang mempunyai sejumlah bagian bukan nol. Bila anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian adalah sama.
4. Grup tertentu “G” dan sebuah sub grup normal “N”, maka quotient group adalah himpunan dari kohimpunan dari “G”/”N” terhadap operasi (“g””N”)(“h””N”) = “g””h”N”.

Referensi

• Group (mathematics) dari Wikipedia berbahasa Inggris.