Metode integrasi numerik

Metode integrasi numerik adalah suatu cara untuk menghitung aproksimasi luas daerah di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan. Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang lazim digunakan:

Metode Euler Eksplisit

merupakan metode integrasi yang paling mudah

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$ $x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}$

Metode Euler Implisit

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k}$

Pada metode integrasi implisit nilai aktual $x_{k}$ juga digunakan sebagai umpan balik. Umpan balik ini dapat menyebabkan terjadinya lingkaran aljabar. Untuk menghindarinya maka bentuk persamaan diubah menjadi seperti ini

${\dot {x}}_{k}=Ax_{k-1}+Bu_{k}=f(x_{k-1},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+h[I-hJ]^{-1}{\dot {x}}_{k}$

J adalah matriks Jacobi. Pada sistem linear dan invarian terhadap waktu, maka matriks J = A

Metode Heun

Algoritma integrasi Heun memerlukan dua masukan yaitu $u_{k}$ dan $u_{k-1}$

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$

$x_{k}^{p}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}$ ${\dot {x}}_{k}^{p}=f(x_{k}^{p},u_{k})$

$x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k-1}+{\dot {x}}_{k}^{p})$

Metode Runge-Kutta

merupakan integrator dengan empat masukan.

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$

$x_{k-0.5}^{p1}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-1}$ ${\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}=f(x_{k-0.5}^{p1},u_{k-0.5})$

$x_{k-0.5}^{p2}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}$ ${\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}=f(x_{k-0.5}^{p2},u_{k-0.5})$

$x_{k}^{p3}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}$ ${\dot {x}}_{k}^{p3}=f(x_{k}^{p3},u_{k})$

$x_{k}=x_{k-1}+{h \over 6}({\dot {x}}_{k-1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}+{\dot {x}}_{k}^{p3})$

Metode Trapesium (Trapez)

merupakan nilai tengah dari metode Euler eksplisit dan metode Euler implisit.

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$ ${\dot {x}}_{k}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k}+{\dot {x}}_{k+1})$

Sama halnya dengan metode Euler implisit, metode ini dapat menyebabkan lingkaran aljabar. Oleh karena itu, bentuk persamaan ini diubah menjadi seperti ini

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+{B \over 2}(u_{k-1}+u_{k})=f(x_{k-1},u_{k-1},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+h[I-{h \over 2}J]^{-1}{\dot {x}}_{k}$

Metode Newton–Cotes

No.	Nama Aturan	Rumus	Estimasi Kesalahan
1	Trapesium	${\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )$
2	Simpson 1/3	${\frac {b-a}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {(b-a)^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )$
3	Simpson 3/8	${\frac {3(b-a)}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3(b-a)^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )$
4	Boole atau Bode	${\frac {2(b-a)}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8(b-a)^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )$

Lihat pula

• Integrasi numerik