Pengguna:Kekavigi/bak pasir

Setiap submedan dari medan terurut juga merupakan medan terurut dalam urutan yang diwariskan. Setiap medan terurut berisi submedan terurut yaitu isomorfik ke bilangan rasional. Kuadrat selalu bukan negatif dalam medan berurutan. Ini berarti bahwa bilangan kompleks tidak dapat diurut karena kuadrat dari unit imajiner i adalah −1. medan hingga tidak dapat diurutkan.

Secara historis, aksiomatisasi medan terurut disarikan secara bertahap dari bilangan real, oleh ahli matematika termasuk David Hilbert, Otto Hölder, dan Hans Hahn. Hal ini akhirnya berkembang menjadi Teori Artin–Schreier medan terurut dan secara formal medan riil.

Dalam matematika, lapangan terurut adalah lapangan dengan urutan total pada elemen-elemennya dan sesuai dengan operasi-operasi pada lapangan tersebut. Contoh sederhana dari lapangan terurut adalah lapangan bilangan rasional dan bilangan riil, masin-masing dengan pengurutan standar mereka.

Setiap sublapangan dari sebarang lapangan terurut juga merupakan suatu lapangan terurut dengan urutan yang sama. Setiap lapangan terurut mengandung suatu sublapangan terurut yang isomorfik ke bilangan rasional. Setiap lapangan terurut lengkap-Dedekind isomorfik ke bilangan riil. Kuadrat harus bernilai non-negatif dalam sebarang lapangan terurut. Hal ini mengartikan bilangan kompleks tidak dapat diurutkan, karena kuadrat dari unit imajiner $i$ adalah ${\textstyle -1}$ (yang bersifat negatif dalam sebarang lapangan terurut). Lapangan hingga tidak dapat diurutkan.

Dari aspek sejarah, aksiomatisasi lapangan terurut adalah proses abstraksi yang perlahan dari sistem bilangan riil, oleh para matematikawan yang meliputi David Hilbert, Otto Hölder, dan Hans Hahn. Upaya ini akhirnya berkembang menjadi teorema Artin–Schreier untuk lapangan terurut dan lapangan riil formal.

Definisi

Ada dua definisi umum yang saling setara untuk lapangan terurut. Definisi menggunakan urutan total muncul pertama kali dalam sejarah, dan merupakan aksiomatisasi tingkat-pertama dari urutan ${\textstyle \leq }$ sebagai predikat biner. Artin dan Schereier memberikan definisi menggunakan kerucut positif di tahun 1926, yang mengaksiomatisasi subkoleksi dari elemen-elemen non-negatif.

Urutan total

Sebarang lapangan ${\textstyle (F,+,\cdot \,)}$ dengan suatu urutan total ${\textstyle \leq }$ pada ${\textstyle F}$ disebut sebagai lapangan terurut jika pengurutan yang digunakan memenuhi sifat-sifat berikut untuk sebarang ${\textstyle a,b,c\in F:}$

• Jika ${\textstyle a\leq b}$ maka ${\textstyle a+c\leq b+c,}$ dan
• Jika ${\textstyle 0\leq a}$ dan ${\textstyle 0\leq b}$ maka ${\textstyle 0\leq a\cdot b.}$

Seperti biasa, notasi ${\textstyle a<b}$ digunakan untuk merujuk ${\textstyle a\leq b}$ dan ${\textstyle a\neq b}$. Notasi $b\geq a$ dan $b>a$ masing-masing mengartikan $a\leq b$ dan $a<b$. Elemen-elemen $a\in F$ dengan $a>0$ disebut positif.

Kerucut positif

Kerucut prepositif atau pra-pengurutan dari sebarang lapangan ${\textstyle F}$ adalah suatu subset ${\textstyle P\subseteq F}$ yang memenuhi sifat-sifat berikut:

• Untuk $x$ dan $y$ di $P,$ elemen $x+y$ dan $x\cdot y$ berada di $P.$
• Jika $x\in F,$ maka $x^{2}\in P.$ Secara khusus, $0=0^{2}\in P$ dan $1=1^{2}\in P.$
• Elemen $-1$ tidak ada di $P.$

Suatu lapangan pra-terurut adalah lapangan yang dilengkapi dengan suatu pra-pengurutan $P.$ Elemen-elemen tak-nol $P^{*}$ membentuk suatu subgrup dari grup multiplikatif dari $F.$ Jika, sebagai tambahan, himpunan ${\textstyle F}$ adalah gabungan dari $P$ dan $-P,$ subset $P$ disebut sebagai suatu kerucut positif dari $F.$ The no

If in addition, the set $F$ is the union of $P$ and $-P,$ we call $P$ a positive cone of $F.$ The non-zero elements of $P$ are called the positive elements of $F.$

An ordered field is a field $F$ together with a positive cone $P.$

The preorderings on $F$ are precisely the intersections of families of positive cones on $F.$ The positive cones are the maximal preorderings.

Equivalence of the two definitions

Let $F$ be a field. There is a bijection between the field orderings of $F$ and the positive cones of $F.$

Given a field ordering ≤ as in the first definition, the set of elements such that $x\geq 0$ forms a positive cone of $F.$ Conversely, given a positive cone $P$ of $F$ as in the second definition, one can associate a total ordering $\leq _{P}$ on $F$ by setting $x\leq _{P}y$ to mean $y-x\in P.$ This total ordering $\leq _{P}$ satisfies the properties of the first definition.

Contoh

Contoh medan terurut adalah:

• bilangan rasional
• bilangan real
• submedan apa pun dari medan terurut, seperti bilangan aljabar atau bilangan terhitungkan real
• medan fungsi rasional nyata ${\frac {p(x)}{q(x)}}\,$, dimana $p(x)$ dan $q(x)$ adalah polinomial dengan koefisien nyata, $q(x)\neq 0\,$, dapat dibuat menjadi sebuah field berurutan dimana polinomial $p(x)=x$ lebih besar dari polinomial tetapan, dengan mendefinisikan ${\frac {p(x)}{q(x)}}>0\,$ maka ${\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0\,$, pada $p(x)=p_{0}\cdot x^{n}+\cdots$ dan $q(x)=q_{0}\cdot x^{m}+\cdots \,$. medan terurut ini bukan Archimedes.
• medan $\mathbb {R} ((x))$ dari deret Laurent formal dengan koefisien real, di mana x dianggap sangat kecil dan positif
• transderet
• medan tertutup riil
• bilangan superriil
• bilangan hiperiil

Bilangan surreal membentuk kelas yang tepat daripada himpunan, tetapi sebaliknya mematuhi aksioma dari medan terurut. Setiap medan yang diurut dapat disematkan ke dalam bilangan surreal.

Sifat medan terurut

Sifat $a>0\land x<y\Rightarrow ax<ay$

Sifat $x<y\Rightarrow a+x<a+y$

Untuk setiap $a,b,c,d$di$F$:

• Antara −a ≤ 0 ≤ a atau a ≤ 0 ≤ −a.
• Salah satu dapat "menambahkan pertidaksamaan": jika $a\leq b$ dan $c\leq d$, maka $a+c\leq b+d$.
• Salah satu dapat "mengalikan pertidaksamaan dengan elemen positif": jika $a\leq b$ dan $0\leq c$, maka $ac\leq bc$.
• Transitivitas dari pertidaksamaan: jika $a<b$ dan $b<c$, maka $a<c$.
• Jika $a<b$ dan $a,b>0$, maka ${\frac {1}{b}}<{\frac {1}{a}}$.
• Medan terurut memiliki karakteristik 0. (Karena 1> 0, maka $1+1>0$, dan $1+1+1>0$, dll. Jika medan memiliki karakteristik p > 0, maka −1 akan menjadi jumlah dari $p-1$satuan, tetapi $-1$ tidak positif.) Khususnya, medan hingga tidak dapat diurut.
• Bilangan kuadrat tidak negatif: $0\leq a^{2}$ untuk semua $a$ di $F$.
• Setiap jumlah taktrivial dari kuadrat adalah bukan nol. Setara: $\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.$

Setiap submedan dari medan terurut juga merupakan medan terurut (mewarisi pengurutan yang diinduksi). Submedan terkecil adalah isomorfik ke rasional (seperti untuk medan lain dengan karakteristik 0), dan urutan pada submedan rasional ini sama dengan urutan rasional itu sendiri. Jika setiap elemen medan terurut terletak di antara dua elemen submedan rasionalnya, maka medan tersebut dikatakan sebagai Archimedes . Jika tidak, medan tersebut adalah medan terurut takArchimedes dan berisi Infinitesimal. Misalnya, bilangan real membentuk medan Archimedes, tetapi bilangan hiperreal membentuk medan takArchimedes, karena meluas bilangan riil dengan elemen lebih besar.

medan terurut $F$ isomorfik dengan medan bilangan real $\mathbb {R}$ jika setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari $F$ dengan batas atas di $F$ memiliki batas atas terkecil di $F$ .

Ruang vektor atas medan terurut

Ruang vektor (khususnya, ruang-n) atas medan terurut menunjukkan beberapa sifat khusus dan memiliki beberapa struktur khusus, yaitu: orientasi, konveksitas, dan darab dalam tentu positif. Lihat Ruang koordinat riil#Sifat dan penggunaan geometris untuk diskusi tentang sifat tersebut Rⁿ, yang dapat dirampatkan ke ruang vektor atas medan terurut lainnya.

Medan mana yang bisa diurutkan?

Setiap medan yang diurutkan adalah medan riil secara formal, yaitu, 0 tidak dapat ditulis sebagai jumlah dari kuadrat bukan nol.

Sebaliknya, setiap medan yang secara formal nyata dapat dilengkapi dengan tatanan total yang serasi, yang akan mengubahnya menjadi medan yang teratur. (Urutan ini tidak perlu ditentukan secara unik). Buktinya menggunakan Lemma Zorn.

medan hingga dan yang lebih umum medan positif karakteristik tidak dapat diubah menjadi medan terurut, karena pada karakteristik p, elemen −1 dapat ditulis sebagai penjumlahan dari (p - 1) menguadratkan 1². Bilangan kompleks juga tidak dapat diubah menjadi medan terurut, karena −1 adalah kuadrat (dari bilangan imajiner i ) dan karenanya akan menjadi positif. Selain itu, nomor p-adic tidak dapat diurut, karena menurut Lemma Hensel Q₂ mengandung akar kuadrat dari −7, jadi 1²+1²+1²+2²+(√−7)²=0, dan Q_p (p > 2) mengandung akar kuadrat dari 1 - p , jadi (p−1)⋅1²+(√1−p)²=0.

Topologi diinduksi oleh urutan

Jika $F$ dilengkapi dengan topologi tatanan yang muncul dari tatanan total ≤, maka aksioma menjamin bahwa operasi + dan × adalah kontinu, sehingga $F$ adalah medan topologi.

Topologi Harrison

Topologi Harrison adalah topologi pada himpunan urutan X_F dari medan formal yang nyata F . Setiap urutan dapat dianggap sebagai homomorfisme kelompok perkalian dari F^∗ ke ± 1. Memberikan ± 1 topologi diskret dan ±1^F topologi produk menginduksi topologi subruang X_F. Himpunan Harrison $H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}$ membentuk subbasis untuk topologi Harrison. Produknya adalah Ruang Boole (padat, Hausdorff dan terputus), dan X_F adalah himpunan bagian tertutup Boolean.

Lihat pula

• Gelanggang terurut
• Ruang vektor terurut
• Medan praurutan

Referensi

• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023. 
• Templat:Lang Algebra

Examples of ordered fields

Examples of ordered fields are:

• the field $\mathbb {Q}$ of rational numbers with its standard ordering (which is also its only ordering);
• the field $\mathbb {R}$ of real numbers with its standard ordering (which is also its only ordering);
• any subfield of an ordered field, such as the real algebraic numbers or the computable numbers, becomes an ordered field by restricting the ordering to the subfield;
• the field $\mathbb {Q} (x)$ of rational functions $p(x)/q(x)$, where $p(x)$ and $q(x)$ are polynomials with rational coefficients and $q(x)\neq 0$, can be made into an ordered field by fixing a real transcendental number $\alpha$ and defining $p(x)/q(x)>0$ if and only if $p(\alpha )/q(\alpha )>0$. This is equivalent to embedding $\mathbb {Q} (x)$ into $\mathbb {R}$ via $x\mapsto \alpha$ and restricting the ordering of $\mathbb {R}$ to an ordering of the image of $\mathbb {Q} (x)$. In this fashion, we get many different orderings of $\mathbb {Q} (x)$.
• the field $\mathbb {R} (x)$ of rational functions $p(x)/q(x)$, where $p(x)$ and $q(x)$ are polynomials with real coefficients and $q(x)\neq 0$, can be made into an ordered field by defining $p(x)/q(x)>0$ to mean that $p_{n}/q_{m}>0$, where $p_{n}\neq 0$ and $q_{m}\neq 0$ are the leading coefficients of $p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}$ and $q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}$, respectively. Equivalently: for rational functions $f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)$ we have $f(x)<g(x)$ if and only if $f(t)<g(t)$ for all sufficiently large $t\in \mathbb {R}$. In this ordered field the polynomial $p(x)=x$ is greater than any constant polynomial and the ordered field is not Archimedean.
• The field $\mathbb {R} ((x))$ of formal Laurent series with real coefficients, where x is taken to be infinitesimal and positive
• the transseries
• real closed fields
• the superreal numbers
• the hyperreal numbers

The surreal numbers form a proper class rather than a set, but otherwise obey the axioms of an ordered field. Every ordered field can be embedded into the surreal numbers.

Properties of ordered fields

The property $a>0\land x<y\Rightarrow ax<ay$

The property $x<y\Rightarrow a+x<a+y$

For every a, b, c, d in F:

• Either −a ≤ 0 ≤ a or a ≤ 0 ≤ −a.
• One can "add inequalities": if a ≤ b and c ≤ d, then a + c ≤ b + d.
• One can "multiply inequalities with positive elements": if a ≤ b and 0 ≤ c, then ac ≤ bc.
• "Multiplying with negatives flips an inequality": if a ≤ b and c ≤ 0, then ac ≥ bc.
• If a < b and a, b > 0, then 1/b < 1/a.
• Squares are non-negative: 0 ≤ a² for all a in F. In particular, since 1=1², it follows that 0 ≤ 1. Since 0 ≠ 1, we conclude 0 < 1.
• An ordered field has characteristic 0. (Since 1 > 0, then 1 + 1 > 0, and 1 + 1 + 1 > 0, etc., and no finite sum of ones can equal zero.) In particular, finite fields cannot be ordered.
• Every non-trivial sum of squares is nonzero. Equivalently: $\textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.$

Every subfield of an ordered field is also an ordered field (inheriting the induced ordering). The smallest subfield is isomorphic to the rationals (as for any other field of characteristic 0), and the order on this rational subfield is the same as the order of the rationals themselves.

If every element of an ordered field lies between two elements of its rational subfield, then the field is said to be Archimedean. Otherwise, such field is a non-Archimedean ordered field and contains infinitesimals. For example, the real numbers form an Archimedean field, but hyperreal numbers form a non-Archimedean field, because it extends real numbers with elements greater than any standard natural number.

An ordered field F is isomorphic to the real number field R if and only if every non-empty subset of F with an upper bound in F has a least upper bound in F. This property implies that the field is Archimedean.

Vector spaces over an ordered field

Vector spaces (particularly, n-spaces) over an ordered field exhibit some special properties and have some specific structures, namely: orientation, convexity, and positively-definite inner product. See Real coordinate space#Geometric properties and uses for discussion of those properties of Rⁿ, which can be generalized to vector spaces over other ordered fields.

Orderability of fields

Every ordered field is a formally real field, i.e., 0 cannot be written as a sum of nonzero squares.

Conversely, every formally real field can be equipped with a compatible total order, that will turn it into an ordered field. (This order need not be uniquely determined.) The proof uses Zorn's lemma.

Finite fields and more generally fields of positive characteristic cannot be turned into ordered fields, as shown above. The complex numbers also cannot be turned into an ordered field, as −1 is a square of the imaginary unit i. Also, the p-adic numbers cannot be ordered, since according to Hensel's lemma Q₂ contains a square root of −7, thus 1² + 1² + 1² + 2² + √−7)² = 0, and Q_p (p > 2) contains a square root of 1 − p, thus (p − 1)⋅1² + (√1 − p)² = 0.

Topology induced by the order

If F is equipped with the order topology arising from the total order ≤, then the axioms guarantee that the operations + and × are continuous, so that F is a topological field.

Harrison topology

The Harrison topology is a topology on the set of orderings X_F of a formally real field F. Each order can be regarded as a multiplicative group homomorphism from F^∗ onto ±1. Giving ±1 the discrete topology and ±1^F the product topology induces the subspace topology on X_F. The Harrison sets $H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}$ form a subbasis for the Harrison topology. The product is a Boolean space (compact, Hausdorff and totally disconnected), and X_F is a closed subset, hence again Boolean.

Fans and superordered fields

A fan on F is a preordering T with the property that if S is a subgroup of index 2 in F^∗ containing T − {0} and not containing −1 then S is an ordering (that is, S is closed under addition). A superordered field is a totally real field in which the set of sums of squares forms a fan.

See also

• Linearly ordered group
• Ordered group
• Ordered ring
• Ordered topological vector space
• Ordered vector space
• Partially ordered ring
• Partially ordered space
• Preorder field
• Riesz space

References

• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023. 
• Templat:Lang Algebra

---

---

Dalam aljabar, kernel dari homomorfisme (fungsi yang mempertahankan struktur) umumnya gambar invers dari 0 (kecuali untuk grup yang operasinya dilambangkan dengan multi, dimana kernel adalah kebalikan dari gambar 1). Kasus khusus yang penting adalah kernel dari peta linear. kernel dari matriks, juga disebut ruang nol, adalah kernel dari peta linear yang ditentukan oleh matriks.

Kernel homomorfisme direduksi menjadi 0 (atau 1) jika dan hanya jika homomorfisme tersebut adalah injeksi, Artinya jika gambar invers dari setiap elemen terdiri dari satu elemen. Ini berarti bahwa kernel dapat dilihat sebagai ukuran sejauh mana homomorfisme gagal untuk diinjeksi.

Untuk beberapa jenis struktur, seperti grup abelian dan ruang vektor, kemungkinan kernel adalah substruktur dari jenis yang sama. Ini tidak selalu terjadi, dan terkadang, kemungkinan kernel telah menerima nama khusus, seperti subgrup normal untuk kelompok dan ideal dua sisi untuk cincin.

Kernel memungkinkan untuk menentukan objek hasil bagi (juga disebut aljabar hasil bagi di aljabar universal, dan kokernel di teori kategori). Untuk banyak jenis struktur aljabar, teorema fundamental homomorfisme (atau teorema isomorfisme pertama) menyatakan bahwa galeri dari homomorfisme adalah isomorfik terhadap hasil bagi oleh kernel.

Konsep kernel telah diperluas ke struktur sedemikian rupa sehingga gambar kebalikan dari satu elemen tidak cukup untuk memutuskan apakah homomorfisme adalah injeksi. Dalam kasus ini, kernel adalah hubungan kesesuaian.

Artikel ini adalah survei untuk beberapa jenis kernel penting dalam struktur aljabar.

Linear maps

Artikel utama: Kernel (aljabar linear)

Misalkan V dan W menjadi ruang vektor di atas bidang (atau lebih umum, modul di atas gelanggang dan biarkan T menjadi peta liear dari V ke W. Jika 0_W adalah vektor nol dari W , maka kernel T adalah preimage dari nol subruang {0_W}; that adalah, himpunan bagian dari V yang terdiri dari semua elemen V yang dipetakan oleh T ke elemen 0_W. Kernel biasanya dilambangkan sebagai ker T , atau variasinya:

$\operatorname {ker} T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}{\text{.}}$

Karena peta linier mempertahankan vektor nol, vektor nol 0_V dari V harus menjadi milik kernel. Transformasi T bersifat injeksi jika dan hanya jika kernelnya direduksi menjadi subruang nol.

Kernel ker T selalu merupakan subruang linier dari V . Jadi, masuk akal untuk membicarakan tentang ruang hasil bagi V/(ker T). Teorema isomorfisme pertama untuk ruang vektor menyatakan bahwa ruang hasil bagi ini adalah isomorfis alami ke citra dari T (yang merupakan subruang dari W ). Akibatnya, dimensi dari V sama dengan dimensi kernel ditambah dimensi bayangan.

Jika V dan W adalah dimensi-hingga dan basis telah dipilih, maka T dapat dijelaskan oleh matriks M, dan kernel dapat dihitung dengan menyelesaikan sistem persamaan linear homogen Mv = 0. Dalam hal ini, kernel T dapat diidentifikasi ke kernel matriks M , juga disebut "spasi nol" dari M . Dimensi ruang kosong, disebut nulitas M , diberikan oleh jumlah kolom M dikurangi rank dari M , sebagai konsekuensi dari teori peringkat-nullity.

Memecahkan persamaan diferensial homogen sering kali sama dengan menghitung kernel operator diferensial tertentu. Misalnya, untuk mencari semua dua kali - fungsi terdiferensiasi s f dari garis nyata ke dirinya sendiri sehingga

$xf''(x)+3f'(x)=f(x),$

biarkan V menjadi ruang dari semua fungsi yang dapat dibedakan dua kali, biarkan W menjadi ruang dari semua fungsi, dan tentukan operator linier T dari V menjadi W oleh

$(Tf)(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x)$

untuk f di V dan x sembarang bilangan real. Maka semua solusi persamaan diferensial ada di ker T .

Seseorang dapat mendefinisikan kernel untuk homomorfisme antara modul melalui gelanggang dengan cara yang analog. Ini termasuk kernel untuk homomorfisme antara grup abelian sebagai kasus khusus. Contoh ini menangkap esensi kernel secara umum kategori abelian; lihat Kernel (teori kategori).

Aljabar dengan struktur nonaljabar

Kadang-kadang aljabar dilengkapi dengan struktur nonaljabar di samping operasi aljabar mereka. Misalnya, seseorang dapat mempertimbangkan grup topologi atau ruang vektor topologis, dengan dilengkapi dengan topologi. Dalam hal ini, kita mengharapkan homomorfisme f untuk mempertahankan struktur tambahan ini; dalam contoh topologi, kita ingin f menjadi peta kontinu. Prosesnya mungkin mengalami hambatan dengan aljabar hasil bagi, yang mungkin tidak berperilaku baik. Dalam contoh topologi, kita dapat menghindari masalah dengan mensyaratkan bahwa struktur aljabar topologi menjadi Hausdorff (seperti yang biasanya dilakukan); maka kernel (bagaimanapun itu dibangun) akan menjadi set tertutup dan ruang hasil bagi akan berfungsi dengan baik (dan juga Hausdorff).

Kernel dalam teori kategori

Pengertian kernel dalam teori kategori adalah generalisasi dari kernel abelian aljabar; lihat Kernel (teori kategori). Generalisasi kategorikal dari kernel sebagai hubungan kesesuaian adalah pasangan kernel . (Ada juga pengertian kernel perbedaan, atau biner equalizer.)

Lihat pula

• Kernel (aljabar linear)
• Himpunan nol

Referensi

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). Wiley. ISBN 0-471-43334-9. 

• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X. 

---

In algebra, the kernel of a homomorphism (function that preserves the structure) is generally the inverse image of 0 (except for groups whose operation is denoted multiplicatively, where the kernel is the inverse image of 1). An important special case is the kernel of a linear map. The kernel of a matrix, also called the null space, is the kernel of the linear map defined by the matrix.

The kernel of a homomorphism is reduced to 0 (or 1) if and only if the homomorphism is injective, that is if the inverse image of every element consists of a single element. This means that the kernel can be viewed as a measure of the degree to which the homomorphism fails to be injective.

For some types of structure, such as abelian groups and vector spaces, the possible kernels are exactly the substructures of the same type. This is not always the case, and, sometimes, the possible kernels have received a special name, such as normal subgroup for groups and two-sided ideals for rings.

Kernels allow defining quotient objects (also called quotient algebras in universal algebra, and cokernels in category theory). For many types of algebraic structure, the fundamental theorem on homomorphisms (or first isomorphism theorem) states that image of a homomorphism is isomorphic to the quotient by the kernel.

The concept of a kernel has been extended to structures such that the inverse image of a single element is not sufficient for deciding whether a homomorphism is injective. In these cases, the kernel is a congruence relation.

This article is a survey for some important types of kernels in algebraic structures.

Survey of examples

Linear maps

Artikel utama: Kernel (linear algebra)

Let V and W be vector spaces over a field (or more generally, modules over a ring) and let T be a linear map from V to W. If 0_W is the zero vector of W, then the kernel of T is the preimage of the zero subspace {0_W}; that is, the subset of V consisting of all those elements of V that are mapped by T to the element 0_W. The kernel is usually denoted as ker T, or some variation thereof:

$\ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.$

Since a linear map preserves zero vectors, the zero vector 0_V of V must belong to the kernel. The transformation T is injective if and only if its kernel is reduced to the zero subspace.

The kernel ker T is always a linear subspace of V. Thus, it makes sense to speak of the quotient space V / (ker T). The first isomorphism theorem for vector spaces states that this quotient space is naturally isomorphic to the image of T (which is a subspace of W). As a consequence, the dimension of V equals the dimension of the kernel plus the dimension of the image.

If V and W are finite-dimensional and bases have been chosen, then T can be described by a matrix M, and the kernel can be computed by solving the homogeneous system of linear equations Mv = 0. In this case, the kernel of T may be identified to the kernel of the matrix M, also called "null space" of M. The dimension of the null space, called the nullity of M, is given by the number of columns of M minus the rank of M, as a consequence of the rank–nullity theorem.

Solving homogeneous differential equations often amounts to computing the kernel of certain differential operators. For instance, in order to find all twice-differentiable functions f from the real line to itself such that

$xf''(x)+3f'(x)=f(x),$

let V be the space of all twice differentiable functions, let W be the space of all functions, and define a linear operator T from V to W by

$(Tf)(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x)$

for f in V and x an arbitrary real number. Then all solutions to the differential equation are in ker T.

One can define kernels for homomorphisms between modules over a ring in an analogous manner. This includes kernels for homomorphisms between abelian groups as a special case. This example captures the essence of kernels in general abelian categories; see Kernel (category theory).

Group homomorphisms

Let G and H be groups and let f be a group homomorphism from G to H. If e_H is the identity element of H, then the kernel of f is the preimage of the singleton set {e_H}; that is, the subset of G consisting of all those elements of G that are mapped by f to the element e_H.

The kernel is usually denoted ker f (or a variation). In symbols:

$\ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.$

Since a group homomorphism preserves identity elements, the identity element e_G of G must belong to the kernel.

The homomorphism f is injective if and only if its kernel is only the singleton set {e_G}. If f were not injective, then the non-injective elements can form a distinct element of its kernel: there would exist a, b ∈ G such that a ≠ b and f(a) = f(b). Thus f(a)f(b)⁻¹ = e_H. f is a group homomorphism, so inverses and group operations are preserved, giving f(ab⁻¹) = e_H; in other words, ab⁻¹ ∈ ker f, and ker f would not be the singleton. Conversely, distinct elements of the kernel violate injectivity directly: if there would exist an element g ≠ e_G ∈ ker f, then f(g) = f(e_G) = e_H, thus f would not be injective.

ker f is a subgroup of G and further it is a normal subgroup. Thus, there is a corresponding quotient group G / (ker f). This is isomorphic to f(G), the image of G under f (which is a subgroup of H also), by the first isomorphism theorem for groups.

In the special case of abelian groups, there is no deviation from the previous section.

Example

Let G be the cyclic group on 6 elements (0, 1, 2, 3, 4, 5} with modular addition, H be the cyclic on 2 elements (0, 1} with modular addition, and f the homomorphism that maps each element g in G to the element g modulo 2 in H. Then ker f = {0, 2, 4}, since all these elements are mapped to 0_H. The quotient group G / (ker f) has two elements: (0, 2, 4} and (1, 3, 5}. It is indeed isomorphic to H.

Ring homomorphisms

Let R and S be rings (assumed unital) and let f be a ring homomorphism from R to S. If 0_S is the zero element of S, then the kernel of f is its kernel as linear map over the integers, or, equivalently, as additive groups. It is the preimage of the zero ideal (0_S}, which is, the subset of R consisting of all those elements of R that are mapped by f to the element 0_S. The kernel is usually denoted ker f (or a variation). In symbols:

$\operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}.$

Since a ring homomorphism preserves zero elements, the zero element 0_R of R must belong to the kernel. The homomorphism f is injective if and only if its kernel is only the singleton set (0_R}. This is always the case if R is a field, and S is not the zero ring.

Since ker f contains the multiplicative identity only when S is the zero ring, it turns out that the kernel is generally not a subring of R. The kernel is a subrng, and, more precisely, a two-sided ideal of R. Thus, it makes sense to speak of the quotient ring R / (ker f). The first isomorphism theorem for rings states that this quotient ring is naturally isomorphic to the image of f (which is a subring of S). (Note that rings need not be unital for the kernel definition).

To some extent, this can be thought of as a special case of the situation for modules, since these are all bimodules over a ring R:

• R itself;
• any two-sided ideal of R (such as ker f);
• any quotient ring of R (such as R / (ker f)); and
• the codomain of any ring homomorphism whose domain is R (such as S, the codomain of f).

However, the isomorphism theorem gives a stronger result, because ring isomorphisms preserve multiplication while module isomorphisms (even between rings) in general do not.

This example captures the essence of kernels in general Mal'cev algebras.

Monoid homomorphisms

Let M and N be monoids and let f be a monoid homomorphism from M to N. Then the kernel of f is the subset of the direct product M × M consisting of all those ordered pairs of elements of M whose components are both mapped by f to the same element in N. The kernel is usually denoted ker f (or a variation thereof). In symbols:

$\operatorname {ker} f=\left\{\left(m,m'\right)\in M\times M:f(m)=f\left(m'\right)\right\}.$

Since f is a function, the elements of the form (m, m) must belong to the kernel. The homomorphism f is injective if and only if its kernel is only the diagonal set ((m, m) : m in M}.

It turns out that ker f is an equivalence relation on M, and in fact a congruence relation. Thus, it makes sense to speak of the quotient monoid M / (ker f). The first isomorphism theorem for monoids states that this quotient monoid is naturally isomorphic to the image of f (which is a submonoid of N; for the congruence relation).

This is very different in flavour from the above examples. In particular, the preimage of the identity element of N is not enough to determine the kernel of f.

Universal algebra

All the above cases may be unified and generalized in universal algebra.

General case

Let A and B be algebraic structures of a given type and let f be a homomorphism of that type from A to B. Then the kernel of f is the subset of the direct product A × A consisting of all those ordered pairs of elements of A whose components are both mapped by f to the same element in B. The kernel is usually denoted ker f (or a variation). In symbols:

$\operatorname {ker} f=\left\{\left(a,a'\right)\in A\times A:f(a)=f\left(a'\right)\right\}{\mbox{.}}$

Since f is a function, the elements of the form (a, a) must belong to the kernel.

The homomorphism f is injective if and only if its kernel is exactly the diagonal set ((a, a) : a ∈ A}.

It is easy to see that ker f is an equivalence relation on A, and in fact a congruence relation. Thus, it makes sense to speak of the quotient algebra A / (ker f). The first isomorphism theorem in general universal algebra states that this quotient algebra is naturally isomorphic to the image of f (which is a subalgebra of B).

Note that the definition of kernel here (as in the monoid example) doesn't depend on the algebraic structure; it is a purely set-theoretic concept. For more on this general concept, outside of abstract algebra, see kernel of a function.

Algebras with nonalgebraic structure

Sometimes algebras are equipped with a nonalgebraic structure in addition to their algebraic operations. For example, one may consider topological groups or topological vector spaces, which are equipped with a topology. In this case, we would expect the homomorphism f to preserve this additional structure; in the topological examples, we would want f to be a continuous map. The process may run into a snag with the quotient algebras, which may not be well-behaved. In the topological examples, we can avoid problems by requiring that topological algebraic structures be Hausdorff (as is usually done); then the kernel (however it is constructed) will be a closed set and the quotient space will work fine (and also be Hausdorff).

Kernels in category theory

The notion of kernel in category theory is a generalisation of the kernels of abelian algebras; see Kernel (category theory). The categorical generalisation of the kernel as a congruence relation is the kernel pair. (There is also the notion of difference kernel, or binary equaliser.)

See also

• Kernel (linear algebra)
• Zero set

References

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). Wiley. ISBN 0-471-43334-9. 
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.