Pita Möbius

Pita Möbius dibuat dari selembar kertas dan plester. Jika seekor semut merayap di sepanjang jalur ini, maka ia akan kembali ke titik awalnya setelah melintasi seluruh panjang jalur (di kedua sisi kertas aslinya) tanpa pernah menyebrang tepian.

Strip Möbius atau Pita Möbius (/ˈmɜːbiəs/ (non-rhotic), US /ˈmeɪ-, ˈmoʊ-/; Jerman: [ˈmøːbi̯ʊs]), juga dieja Mobius atau Moebius adalah sebuah permukaan topologis dengan satu sisi permukaan (bila dilekatkan dalam ruang tiga dimensi Euclidean) yang hanya memiliki satu batas. Pita Möbius memiliki properti matematis yang tak berorientasi. Hal ini juga dapat disadari sebagai sebuah permukaan teratur. Pita ini ditemukan secara independen oleh dua matematikawan Jerman, yaitu August Ferdinand Möbius dan Johann Benedict Listing di tahun 1858.

Contoh pita Möbius dapat dibuat dari kertas stip dengan setengah putaran, dan kemudian digabung pada ujung pita-nya dan membentuk satu lingkaran. Namun, pita Möbius bukan merupakan permukaan yang hanya dengan satu ukuran dan bentuk yang tepat, seperti strip kertas setengah bengkok yang digambarkan dalam ilustrasi. Sebaliknya, matematikawan merujuk pada pita Möbius yang tertutup sebagai permukaan yang berbentuk homeomorfis. Batasannya merupakan kurva tertutup sederhana, yaitu homeomorfis ke lingkaran. Hal ini memungkinkan adanya versi geometri pita Möbius yang sangat beragam pada masing-masing permukaan dengan ukuran dan bentuk yang pasti. Misalnya, setiap persegi panjang dapat direkatkan pada dirinya sendiri (dengan mengidentifikasi satu sisi dengan tepi yang berlawanan setelah pembalikan orientasi) dalam membuat pita Möbius. Beberapa di antaranya dapat dimodelkan pada ruang Euclidean, sedangkan yang lainnya tidak dapat.

Setengah putaran arah jarum jam memberikan pelekatan pita Möbius yang berbeda dibandingkan setengah putaran yang berlawanan arah jarum jam di mana sebagai objek yang dilekatkan pada ruang Euclidean, pita Möbius merupakan objek kiral baik bagi yang kidal maupun non-kidal. Namun, ruang topologi yang mendasari pita Möbius bersifat homeomorfis pada setiap kasus. Sejumlah emblem topologi yang berbeda dari ruang topologi yang sama ke dalam ruang tiga dimensi yang ada, karena pita Möbius juga dapat dibentuk dengan memutar garis ganjil beberapa kali lebih dari satu kali, atau dengan membuat simpul dan memutar pita, sebelum digabung pada ujungnya. Pita Möbius yang terbuka secara lengkap merupakan contoh permukaan topologi yang terkait erat dengan pita Möbius standar, tetapi tidak berbentuk homeomorfis.

Menemukan persamaan aljabar sangat mudah, di mana solusi ditemukan dengan menggunakan topologi pita Möbius. Persamaan ini secara umum tidak menggambarkan bentuk geometris yang sama dengan yang diperoleh dari model kertas yang memutar seperti yang dijelaskan di atas. Secara khusus, model kertas bengkok merupakan permukaan yang dapat dikembangkan, dengan nilai nol dalam kelengkungan Gaussian. Sebuah sistem persamaan diferensial aljabar menggambarkan model jenis ini yang diterbitkan di tahun 2007 bersama dengan solusi numeriknya.

Karakter Euler dari pita Möbius adalah nol.

Karakteristik

August Ferdinand Möbius

Pita Möbius memiliki beberapa karakteristik misterius. Sebuah garis yang ditarik dari sambungan pada titik temu bagian tengahnya bertemu kembali pada titik temunya, tetapi pada sisi lainnya. Jika dilanjutkan, garis tersebut bertemu pada titik awal, dan akan berukuran lebih panjang dibandingkan ukuran pita aslinya. Kurva kontinu tunggal ini menunjukkan bahwa pita Möbius hanya memiliki satu batas.

Pemotongan pita Möbius di sepanjang garis tengah dengan sepasang gunting menghasilkan satu pita yang memiliki dua tikungan penuh di dalamnya, yang bukan dua pita terpisah; yang tidak menghasilkan pita Möbius. Hal ini terjadi karena pita aslinya hanya memiliki satu sisi yang panjangnya dua kali pita aslinya. Pemotongan ini menciptakan tepian mandiri kedua, yang setengahnya berada di setiap sisi gunting. Pemotongan bagian baru ini, akan menghasilkan pita yang lebih panjang, di mana lipatan ke bawah ini membuat dua pita saling melintang, yang masing-masingnya memiliki dua tikungan penuh.

Geometri dan topologi

Plot parametrik dari pita Möbius

Pita Möbius dapat dinyatakan dalam sebuah subset R³ sebagai berikut:

$x(u,v)=\textstyle \left(1+{\frac {1}{2}}v\cos {\frac {1}{2}}u\right)\cos u$

$y(u,v)=\textstyle \left(1+{\frac {1}{2}}v\cos {\frac {1}{2}}u\right)\sin u$

$z(u,v)=\textstyle {\frac {1}{2}}v\sin {\frac {1}{2}}u$

di mana 0 ≤ u < 2π dan −1 ≤ v ≤ 1. Persamaan ini akan menyatakan pita Möbius dengan lebar 1 dengan lingkaran berjari-jari 1, berada pada bidang xy yang berpusat di (0, 0, 0).

Pita Möbius. Dunia Satu Sisi yang Terpelintir Sebuah Pita Möbius dibuat dengan selembar kertas dan pita. Jika seekor semut yang merangkak sepanjang Pita ini, akan kembali ke titik awal yang melintasi setiap bagian dari Pita tanpa pernah melintasi tepi.

Pita Möbius adalah sebuah permukaan dengan hanya satu sisi dan hanya satu komponen batas. Pita Möbius memiliki sifat matematika menjadi non-orientable. Hal ini dapat direalisasikan sebagai permukaan yang memerintah. Ia ditemukan secara independen oleh matematikawan Jerman Agustus Ferdinand Möbius dan Johann Benedict Listing pada tahun 1858.

Sebuah model dengan mudah dapat dibuat dengan mengambil secarik kertas dan memberikan setengah-putaran(twist), dan kemudian bergabung dengan ujung Pita bersama untuk membentuk sebuah lingkaran. Dalam ruang Euclidean sebenarnya ada dua jenis Pita Möbius tergantung pada arah putaran-setengah: searah jarum jam dan berlawanan.

Hal ini mudah untuk menemukan persamaan aljabar solusi yang memiliki topologi Pita Möbius, namun secara umum persamaan ini tidak menggambarkan bentuk geometris yang sama yang satu mendapatkan dari model kertas Terputar yang dijelaskan di atas. Secara khusus, model kertas terputar adalah permukaan yang Developable (memiliki kelengkungan nol Gaussian). Sebuah sistem persamaan diferensial-aljabar yang menggambarkan model jenis ini diterbitkan pada tahun 2007 bersama-sama dengan solusi numeriknya

Pita Möbius beberapa memiliki propreti yang aneh. Sebuah garis yang ditarik mulai dari lapisan di tengah akan bertemu kembali pada jahitan tetapi di "sisi lain". Jika terus garis akan bertemu dengan titik awal dan akan dua kali lipat panjang Pita asli. Kurva ini terus menerus tunggal menunjukkan bahwa Pita Möbius hanya memiliki satu batas.

potongan Pita Möbius sepanjang garis tengah menghasilkan satu Pita panjang dengan dua tikungan penuh di dalamnya, bukan dua potongan terpisah, hasilnya bukan pita Möbius. Hal ini terjadi karena Pita asli hanya memiliki satu sisi yang dua kali lebih lama Pita asli. Potongan menciptakan tepi independen kedua, setengah dari yang di setiap sisi gunting. Pemotongan baru ini, lagi, Pita di tengah menciptakan dua Pita luka sekitar satu sama lain, masing-masing dengan dua tikungan penuh.

Jika Pita dipotong sepanjang sekitar sepertiga dari cara dari pinggir, itu menciptakan dua Pita: Salah satunya adalah Möbius Pita tipis - itu adalah pusat ketiga Pita asli, terdiri dari 1 / 3 dari lebar dan panjang yang sama sebagai Pita asli. Yang lainnya adalah Pita lagi tapi tipis dengan dua tikungan penuh di dalamnya - ini adalah sekitar tepi Pita asli, dan itu terdiri dari 1 / 3 dari lebar dan dua kali panjang Pita asli.

Pita analog lainnya dapat diperoleh dengan bergabung sama Pita dengan dua atau lebih tikungan setengah di dalamnya, bukan satu. Sebagai contoh, sebuah Pita dengan tiga putaran setengah, ketika dibagi memanjang, menjadi Pita diikat dalam simpul trefoil. (Jika simpul ini terurai, Pita dibuat dengan delapan tikungan setengah di samping sebuah simpul tinju.) Persamaan untuk jumlah tikungan setelah memotong Möbius Pita adalah 2N +2 = M, dimana N merupakan jumlah tikungan sebelum dan M, nomor akhir. Potongan Pita Möbius, memberikan liku tambahan, dan menghubungkan kembali berakhir menghasilkan angka yang disebut cincin paradromic.

Sebuah Pita dengan jumlah-ganjil setengah-putaran, seperti Pita Möbius, akan hanya memiliki satu permukaan dan satu batas. Sebuah Pita diputar berkali - kali akan memiliki dua permukaan dan dua batas.

Jika Pita dengan jumlah ganjil setengah-liku dibelah dua sepanjang panjangnya, maka akan menghasilkan Pita lagi, dengan jumlah ligkaran(loop)yang sama karena ada setengah-liku dalam bahasa aslinya. Atau, jika Pita dengan jumlah setengah-liku yang genap dibelah dua sepanjang panjangnya, maka akan menghasilkan dua Pita siam, masing-masing dengan jumlah yang sama putaran seperti aslinya.