Teras (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, teras (juga disebut dengan trace), dari matriks persegi didefinisikan sebagai jumlah dari setiap elemen pada diagonal utama matriks tersebut. Notasi yang digunakan untuk mewakili teras dari matriks A adalah tr(A).

Nilai teras juga sama dengan jumlah nilai eigen (kompleks) berserta kelipatannya dari matriks tersebut; dan tidak bergantung pada basis yang dipakai. Sifat ini dapat digunakan untuk mendefinisikan teras dari operator linear secara umum. Nilai teras hanya terdefinisi untuk matriks persegi (matriks berukuran n × n).

Nilai teras suatu matriks juga berhubungan dengan turunan dari determinan (lihat rumus Jacobi)

Definisi

Teras dari matriks persegi $A$ berukuran n × n didefinisikan sebagai^:34

$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$

Dengan a_ii menandakan elemen baris ke-i dan kolom ke-i dari matriks $A$.

Contoh

Sebagai contoh, misal $A$ adalah matriks berukuran 3 × 3 dengan elemen-elemen

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}$

Maka, teras dari matriks $A$ adalah

$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1$

Teras eksponensial

Ekspresi seperti ${\text{tr}}({\text{exp}}(A))$, dengan $A$ adalah matriks persegi, sering muncul dalam beberapa bidang keilmuan (seperti teori statistik multivariat), sehingga terdapat notasi umum yang lebih singkat:

$\operatorname {tre} (A):=\operatorname {tr} (\exp(A)).$

Fungsi tre terkadang disebut sebagai fungsi teras eksponensial, dan digunakan dalam ketidaksamaan Golden–Thompson.

Teras dari operator linear

Secara umum, untuk pemetaan linear f : V → V (dengan V adalah ruang vektor dimensi hingga), nilai teras dari pemetaan dapat didefinisikan dengan mempertimbangkan nilai teras dari representasi matriks dari f. Dengan kata lain, memilih basis bagi V dan menyatakan f sebagai matriks terhadap basis tersebut, lalu menghitung teras dari matriksnya. Hasil metode ini tidak bergantung pada basis yang dipilih, karena setiap basis merupakan matriks similar (akibat matriks perubahan basis); dan memungkinkan definisi teras dari operator linear yang tidak bergantung pada basis.

Hubungan dengan nilai eigen

Jika $A$ adalah operator linear yang diwakili oleh matriks persegi dengan elemen bilangan real atau bilangan kompleks, dan λ₁, …, λ_n adalah nilai eigen dari $A$ (diurutkan berdasarkan kelipatan algebraic-nya), maka

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i}$

Hal ini disebabkan karena $A$ selalu similar dengan bentuk Jordan-nya, yakni sebuah matriks segitiga dengan λ₁, …, λ_n berada pada diagonal utamanya. Di sisi lain, determinan dari $A$ adalah hasil perkalian dari nilai-nilai eigennya. Dengan kata lain,

$\det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.$

Dalam bentuk yang lebih umum,

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{k}\right)=\sum _{i}\lambda _{i}^{k}.$

Kegunaan

Teras dari matriks kompleks ukuran 2 × 2 digunakan untuk mengelompokkan transformasi Möbius. Hasil ini dilakukan pertama dengan menormalisasi matriks sehingga determinannya bernilai 1. Selanjutnya, jika kuadrat dari teras bernilai 4, maka transformasi yang bersangkutan bertipe parabolic. Jika nilai kuadrat dari teras berada pada selang [0,4), maka ia bertipe elliptic. Sedangkan jika nilai kuadrat dari teras lebih besar dari 4, transformasi bertipe loxodromic. Detail mengenai ini ada pada pengelompokan transformasi Möbius.

Hasil kali dalam

Untuk matriks $A$ berukuran m × n dengan elemen bilangan real (atau bilangan kompleks), dan ^H menyatakan transpos konjugat kita memiliki

$\operatorname {tr} \left(A^{\mathsf {H}}A\right)\geq 0$

Dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika $A$ adalah matriks nol.^:7

Referensi

Catatan kaki

Daftar pustaka