Ukuran (matematika)

.

Dalam matematika, konsep ukuran umumnya merujuk pada pengertian seperti "panjang", "luas" dan "volume".

Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral. Selain itu ukuran juga penting dalam teori peluang.

Definisi

Misalkan $(X,\Sigma )$ ruang terukur, yaitu $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ sebuah aljabar σ pada $X$. Fungsi $\mu :\Sigma \rightarrow [0,+\infty ]$ sebuat ukuran, jika memenuhi sifat-sifat:

1. $\mu (A)\geq 0$ untuk semua $A\in \Sigma$.
2. Gagal mengurai (SVG (MathML dapat diaktifkan melalui plugin peramban): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "http://localhost:6011/wiki-indonesia.club/v1/":): {\displaystyle \mu ( \emptysgimana itu aku kan mau beli baju untuk umroh yang itu tadi harganya udah udah aku ngerti dan aku mau beli beli sekarang kan itu ya beli itu sampai ke tempat saya kapan ya bayar ditempat tadi kan Kalau nggak salah aku mau beli 3 yang harganya 9085 dan 120 apa 110 harganya 80 90 terus 85 Terus yang 110 apa 120 itu akan ku bayar ditempat kalau aku sudah mendapat kiriman tapi kapan aku belumet ) = 0 } .
3. $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$ untuk semua $A_{1},A_{2},\ldots \in \Sigma$ yang saling asil ( yaitu $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ untuk semua $i\neq j$).

Anggota dari $\Sigma$ dikatakan himpunan terukur.

Selain itu, $(X,\Sigma ,\mu )$ disebut ruang ukuran.

Contoh

Ukuran Lebesgue

Ukuran Lebesgue di $\mathbb {R}$ suatu perumuman dari panjang. Panjang interval $I=[a,b],[a,b),(a,b]$ atau $(a,b)$ didefinisikan $|I|=b-a$. Sekarang misalkan $A\subseteq \mathbb {R}$ suatu himpunan bagian. Keluarga interval $(I_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ dikatakan meliputi $A$ apabila $A\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }I_{i}$. Ukuran luar $A$ didefinisikan sebagai

$m^{\ast }(A)=\inf \left\{\sum _{i\in \mathbb {N} }|I_{i}|:(I_{i})_{i\in \mathbb {N} }{\mbox{ meliputi }}A\right\}.$

Tepatnya, $m^{\ast }$ yang didefinisikan untuk semua himpunan bagian $A$ dari $\mathbb {R}$ bukan ukuran karena itu tidak memenuhi sifat-3 definisi ukuran.

Himpunan $A\subseteq \mathbb {R}$ dikatakan terukur (atau terukur Lebesgue) apabila untuk setiap $\varepsilon >0$ terdapat himpunan tertutup $F\subseteq A$ dan himpunan terbuka $G\supseteq A$ sedemikian sehingga $m^{\ast }(G\setminus F)<\varepsilon$. Sekarang misalkan $\Sigma$ adalah keluarga himpunan terukur. Tepatnya, $\Sigma$ aljabar sigma dan fungsi $m^{\ast }$ yang dibatasi pada $\Sigma$ ukuran. Ukuran itu dikenal sebagai Ukuran Lebesgue (di $\mathbb {R}$) dan dilambangkan dengan $m$.

Ukuran penghitungan

Misalnya $X$ suatu himpunan dan $\Sigma$ himpunan kunasa, yakni $\Sigma$ keluarga semua himpunan bagian dari $X$. Jelas, $\Sigma$ aljabar sigma. Untuk $A\in \Sigma$, nilai $\mu (A)$ definisikan sebagai jumlah unsur himpunan $A$. Fungsi itu $\mu :\Sigma \rightarrow [0,+\infty ]$ dikenal sebagai ukuran penghitungan di $X$.

Referensi

• Hendra Gunawan, 2014. Analisis Fourier dan Wavelet. Catatan Kuliah.
• R. G. Bartle, 1995. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Interscience.
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1  Chapter III.
• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-317160-0  Second edition.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428-32.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
• YAN Kun(2007). Introduction on background medium theory about celestial body motion orbit and foundation of fractional-dimension calculus about self-similar fractal measure calculation(Equations of self-similar fractal measure based on the non-integral order calculus), DOI:10.3969/j.issn.1004-2903.2007.02.018.