Rata-rata aritmetika

Dalam matematika and statistika, rata-rata aritmetika atau purata aritmetika (Inggris: mean arithmetic), merupakan jumlah dari kumpulan bilangan yang dibagi dengan jumlah bilangan pada kumpulan. Kumpulan tersebut acapkali merupakan himpunan dari hasil eksperimen atau kajian amatan, atau acapkali merupakan himpunan dari hasil survei. Istilah tersebut diutamakan pada beberapa konteks dalam matematika dan statistika, karena istilah tersebut membantu membedakannya dari rata-rata lain, seperti rata-rata geometri dan rata-rata harmonik.

Selain matematika dan statistika, rata-rata ini acapkali pula dalam bidang yang berbeda, seperti ekonomi, antropologi dan sejarah, serta dipakai di hampir semua bidang akademik yang luas. Sebagai contoh, pendapatan per kapita merupakan pendapatan rata-rata aritmetika dari populasi negara.

Walaipun rata-rata aritmetika seringkali dipakai untuk menghitung ukuran pemusatan data, namun ia bukan merupakan statistik kekar, dalam artian bahwa rata-rata aritmetika sangat dipengaruhi dengan pencilan (Inggris: outlier), nilai yang sangat lebih besar atau lebih kecil daripada sebagian besar nilai. Untuk distrbusi kemencengan (atau kemencongan), seperti distribusi pendapatan ketika ada pendapatan dari beberapa orang yang sangat besar daripada sebagian besar orang, rata-rata aritmetika tidak dapat disamakan dengan gagasan dari "tengah", dan statistika kekar, seperti median, dapat menyediakan penjelasan yang lebih baik terkait ukuran pemusatan.

Definisi

Diberikan suatu himpunan data $X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$, maka rata-rata aritmetika atau purata aritmetika yang dinyatakan ${\bar {x}}$ (dibaca $x$ bar), adalah rata-rata dari $n$ nilai, yaitu $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$.

Rata-rata aritmetika merupakan alat yang paling umum digunakan dan sangat dipahami pada ukuran pemusatan data dalam himpunan data. Dalam statistika, istilah rata-rata mengacu pada suatu ukuran pemusatan data. Rata-rata aritmetika dari himpunan data yang dikaji didefinisikan sebagai jumlah dari nilai numerik dari setiap kajian, lalu dibagi dengan jumlah total dari kajian. Melalui lambang, jika himpunan data memuat nilai $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$, maka rata-rata aritmetika $A$ didefinisikan dengan rumus:

$A={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$

Sebagai contoh, misalkan gaji per bulan untuk 10 karyawan dari sebuah perusahaan adalah 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2600, 2400. Maka rata-rata aritmetika mengatakan

${\frac {2500+2700+2400+2300+2550+2650+2750+2450+2600+2400}{10}}=2530.$

Jika himpunan data adalah populasi statistika (dalam artian, terdiri dari setiap kajian yang mungkin dan bukan hanya subhimpunan darinya), maka rata-rata dari populasi tersebut dikatakan sebagai rata-rata populasi, dan dilambangkan sebagai huruf Yunani $\mu$. Jika himpunan data merupakan sampel statistika (subhimpunan dari populasi), maka dapat dikatakan bahwa hasil statistik dari perhitungan tersebut adalah rata-rata sampel (dilambangkan sebagai ${\overline {X}}$).

Rata-rata aritmetika mirip dengan definisi vektor dalam dimensi banyak, bukan hanya nilai skalar; ini seringkali disebut sentroid. Lebih umumnya, karena rata-rata aritmetika merupakan kombinasi cembung (jumlah semua koefisien bernilai 1), maka dapat didefinisikan pada ruang cembung, bukan hanya ruang vektor.