Lihat sumber Logaritma

[[Berkas:Logarithms.png|thumb|300px|Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda. <span style="color:red">merah</span> adalah terhadap basis e, <span style="color:green">hijau</span> adalah terhadap basis 10, dan <span style="color:purple">ungu</span> adalah terhadap basis 1.7. Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik (1,0)]]
'''Logaritma''' adalah operasi [[matematika]] yang merupakan [[fungsi invers|'''kebalikan''' (atau '''invers''')]] dari [[eksponen|'''eksponen''' atau '''pemangkatan''']].

Rumus dasar logaritma:

<math>a^b = c \ \Longleftrightarrow \ ^a\log{c} = b</math>

Pada rumus ini, a adalah basis atau pokok dari logaritma tersebut.

Beberapa buku dan karya ilmiah menuliskan <math display="inline">^a\log{x}</math> sebagai <math display="inline">\log_a{x}</math>. Notasi yang kedua umumnya ditemukan pada buku dan karya ilmiah yang berbahasa inggris.

== Basis ==

Logaritma yang paling umum digunakan adalah <math>^2\log{x}</math>, <math>^e\log{x}</math> atau <math>\ln{x}</math>, dan <math>^{10}\log{x}</math>. Fungsi-fungsi tersebut memiliki basis 2, e, dan 10.

Logaritma dengan basis e juga disebut 'logaritma natural', di mana:

<math>e = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}</math>

<math>e \approx 2.718281828459045\cdots</math>

== Notasi ==

* Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi <sup>b</sup>log a daripada log<sub>b</sub>a. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi log<sub>b</sub>a
* Beberapa orang menulis ''ln a'' sebagai ganti ''<sup>e</sup>log a'', ''log a'' sebagai ganti ''<sup>10</sup>log a'' dan ''ld a'' sebagai ganti ''<sup>2</sup>log a''.
* Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
* Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti [[C]],[[C++]],[[Java]] dan [[BASIC]], LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
* Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada <sup>10</sup>log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada <sup>e</sup>log x.

== Mencari nilai logaritma ==
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
* [[Tabel]]
* [[Kalkulator]] (yang sudah dilengkapi fitur log)

== Rumus ==

{|style="width: 28em; text-align: center; font-size: 100%; vertical-align: middle;"
|+ <span style="font-size: 10pt">'''Logaritma'''</span>
|-
| colspan="3" style="text-align:center;" |
|- bgcolor=#cceecc style="text-align:center;"
!style="vertical-align: middle;"| a<sup>c</sup> = b → ª log b = c 
|- bgcolor=#D9E8FF style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| a = basis
|- bgcolor=#D9E8FF style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| b = bilangan yang dilogaritma
|- bgcolor=#D9E8FF style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| c = hasil logaritma
|- bgcolor=#cceecc style="text-align:center;"
!style="vertical-align: middle;"| Sifat-sifat Logaritma
|- bgcolor=#ddddff style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| ª log a = 1
|- bgcolor=#ffdddd style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| ª log 1 = 0
|- bgcolor=#ddffdd style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| ª log aⁿ = n
|- bgcolor=#ddddff style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| ª log bⁿ = n • ª log b
|- bgcolor=#ddffdd style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| ª log b • c = ª log b + ª log c
|- bgcolor=#ffdddd style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| ª log <sup>b</sup>/c =  ª log b – ª log c 
|- bgcolor=#ddddff style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| ªˆⁿ log b <sup>m</sup> = <sup>m</sup>/n • ª log b
|- bgcolor=#ffdddd style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| ª log b = 1 ÷ <sup>b</sup> log a
|- bgcolor=#ddffdd style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| ª log b • <sup>b</sup> log c • <sup>c</sup> log d = ª log d
|- bgcolor=#ddddff style="text-align:left;"
|style="vertical-align: middle;"| ª log b = <sup>c</sup> log b ÷ <sup>c</sup> log a
|}

== Kegunaan logaritma ==
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari [[integral]]. Dalam persamaan ''b''<sup>''n''</sup> = ''x'', ''b'' dapat dicari dengan [[akar (matematika)|pengakaran]], ''n'' dengan logaritma, dan ''x'' dengan [[fungsi eksponensial]].

=== Sains dan teknik ===
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di [[skala logaritmik]].

* Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam [[kimia]] untuk mengekspresikan [[konsentrasi]] ion hidronium ([[pH]]). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada [[air]] adalah 10<sup>−7</sup> pada suhu 25&nbsp;°C, sehingga pH-nya 7.

* Satuan ''bel'' (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai [[daya]] dan [[tegangan]]. Kebanyakan digunakan dalam bidang [[telekomunikasi]], [[elektronik]], dan [[akustik]]. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena [[telinga]] manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa [[Alexander Graham Bell]], seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan [[desibel]] (dB), yang sama dengan 0.1&nbsp;bel, lebih sering digunakan.

* [[Skala Richter]] mengukur intensitas [[gempa bumi]] dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

* Dalam astronomi, [[magnitudo]] yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena [[mata]] manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

=== Penghitungan yang lebih mudah ===

Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
{| style="border:1px solid" align="center"
|- align="center"
! Penghitungan dengan angka !! Penghitungan dengan eksponen !! Identitas Logaritma
|- align="center"
| <math> \!\, a b </math> || <math> \!\, A + B </math> || <math> \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b) </math>
|- align="center"
| <math> \!\frac{a}{b} </math> || <math> \!\, A - B </math> || <math> \!\, \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b) </math>
|- align="center"
| <math> \!\, a ^ b </math> || <math> \!\, A b </math> || <math> \!\, \log(a ^ b) = b \log(a) </math>
|- align="center"
| <math> \!\, \sqrt[b]{a} </math> || <math> \!\, \frac{A}{b} </math> || <math> \!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \frac{\log(a)}{b} </math>
|}

Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya [[kalkulator]] sebagai hasil perkembangan teknologi modern.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan ''radix'' pangkat atau akar tersebut.

=== Kalkulus ===
Turunan fungsi logaritma adalah
: <math>\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{d}{dx} \frac{\ln(x)}{\ln(b)} = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}</math>
di mana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis ''e''. Jika ''b'' = ''e'', maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi
: <math>\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.</math>

[[Integral]] fungsi logaritma adalah
: <math>\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C</math>

Integral logaritma berbasis e adalah
:<math>\int \ln(x) \, dx= x \ln(x) - x + C\,</math>

Sebagai contoh
carilah turunan 
:<math>\log(x)</math>

== Penghitungan nilai logaritma ==
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.

: <math> \log_b(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(b)} \qquad \mbox{ atau } \qquad \log_b(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(b)}</math>

Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.

== Lihat pula ==
* [[Logaritma natural]]
* [[Logaritma biner]]
* [[Fungsi eksponensial]]
* Anonymouse
* 
== Catatan ==
{{reflist|group=nb|30em}}

== Referensi ==
{{Reflist|30em}}

== Pranala luar ==
* {{Citation|title=Translation of Napier's work on logarithms|url=http://johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm|author=Edward Kontol|accessdate=2010-10-12}}

[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Persamaan diferensial]]
[[Kategori:Persamaan matematika]]
[[Kategori:Persamaan]]