Lihat sumber Ekspansi Laplace

Dalam [[aljabar linear]], '''ekspansi Laplace''', dinamai [[Pierre-Simon Laplace]], juga disebut '''ekspansi kofaktor''', adalah ekspresi dari [[determinan]]  {{math|''n'' × ''n''}} matriks {{mvar|B}} sebagai jumlah tertimbang dari minor, yang merupakan determinan dari beberapa {{mvar|B}} submatriks {{mvar|B}}. Secara khusus, untuk setiap {{mvar|i}},
<math display="block"> \begin{align}
\det(B)&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}  B_{i,j} M_{i, j},
\end{align}</math>
dimana <math>B_{i,j}</math> adalah entri baris ke-{{mvar|i}} dan kolom ke-{{mvar|j}} dari {{mvar|B}}, dan <math>M_{i,j}</math> adalah determinan submatriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-{{mvar|i}} dan kolom ke-{{mvar|j}} dari {{mvar|B}}.

Syarat <math>(-1)^{i+j} M_{i, j}</math> disebut kofaktor dari <math>B_{i,j}</math> di {{mvar|B}}.

== Contoh ==
Perhatikan matriks

:<math> B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}. </math>

Determinan matriks ini dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi Laplace sepanjang salah satu baris atau kolomnya. Misalnya, ekspansi di sepanjang baris pertama menghasilkan:

:<math>
\begin{align}
|B| & = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \\[5pt]
& = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = 0.
\end{align}
</math>

Ekspansi Laplace sepanjang kolom kedua menghasilkan hasil yang sama:

:<math>
\begin{align}
|B| & = -2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} - 8 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} \\[5pt]
& = -2 \cdot (-6) + 5 \cdot (-12) - 8 \cdot (-6) = 0.
\end{align}
</math>

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa hasilnya benar: matriksnya tunggal karena jumlah kolom pertama dan ketiganya adalah dua kali kolom kedua, dan karenanya determinannya adalah nol.

== Referensi ==
* David Poole: ''Linear Algebra. A Modern Introduction''. Cengage Learning 2005, {{ISBN|0-534-99845-3}}, pp.&nbsp;265–267 ({{Google books|oBk3u2fDFc8C|restricted online copy|page=265}})
* Harvey E. Rose: ''Linear Algebra. A Pure Mathematical Approach''. Springer 2002, {{ISBN|3-7643-6905-1}}, pp.&nbsp;57–60 ({{Google books|mTdAj-Yn4L4C|restricted online copy|page=57}})

== Pranala luar ==
* [https://www.blogcyberini.com/2017/09/teorema-de-laplace-em-c.html Laplace expansion in C] {{pt}}
* [https://www.blogcyberini.com/2013/11/algoritmo-teorema-de-laplace-em-java.html Laplace expansion in Java] {{pt}}

[[Kategori:Matriks]]


{{matematika-stub}}