Subobjek: Perbedaan antara revisi
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
k clean up, replaced: kelas ekuivalen → kelas kesetaraan using AWB |
||
(2 revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
Dalam [[teori kategori]], cabang dari [[matematika]], '''Subobjek''' adalah |
Dalam [[teori kategori]], cabang dari [[matematika]], '''Subobjek''' adalah [[Objek (teori kategori)|objek]] dalam objek lain yaitu [[kategori (matematika)|kategori]]. Generalisasi untuk konsep [[himpunan bagian]] dari [[teori himpunan]], [[subgrup]] dari [[teori grup]],<ref name="Mac Lane">Mac Lane, p. 126</ref> dan [[subruang (topologi)|subruang]] dari [[topologi]]. Karena struktur detail objek non-material dalam teori kategori, mendefinisikan subobjek dengan [[morfisme]] dari satu objek dalam objek lain untuk penggunaan elemen. |
||
Konsep [[ganda (teori kategori) |
Konsep [[ganda (teori kategori)|ganda]] untuk subobjek adalah '''{{visible anchor|objek hasil bagi}}'''. Untuk menggeneralisasi konsep [[himpunan hasil bagi]], [[grup hasil bagi]], [[ruang hasil bagi (topologi)|ruang hasil bagi]], [[grafik hasil bagi]], dll. |
||
== Definisi == |
== Definisi == |
||
Secara detail, maka ''<math> A </math>'' |
Secara detail, maka ''<math> A </math>'' adalah objek dari beberapa kategori. Diberikan dua [[monomorfisme]] |
||
:<math>u: S \to A \ \text{dan} \ v: T\to A</math> |
:<math>u: S \to A \ \text{dan} \ v: T\to A</math> |
||
dengan [[ |
dengan [[kodomain]] ''<math>A</math>'', untuk <math>u \leq v</math> jika <math>u</math> [[Jargon (matematika)#Faktor melalui|faktor melalui]] ''<math>v</math>'', jika <math>\phi: S \to T</math> dengan <math>u = v \circ \phi</math>. Relasi biner <math>\equiv</math> didefinisikan oleh |
||
:<math>u \equiv v \iff u \leq v \ \text{dan} \ v\leq u </math> |
:<math>u \equiv v \iff u \leq v \ \text{dan} \ v\leq u </math> |
||
adalah [[ |
adalah [[relasi ekuivalen]] pada monomorfisme dengan kodomain ''<math>A</math>'', dan [[kelas kesetaraan]] dari monomorfisme adalah '''subobjek''' dari ''<math>A</math>''. Ekuivalen didefinisikan sebagai relasi ekuivalen dengan <math>u \equiv v</math> jika dan hanya jika isomorfisme <math>\phi: S \to T</math> with <math>u = v \circ \phi</math>.) |
||
Relasi ≤ |
Relasi ≤ induksi sebuah [[urutan parsial]] pada himpunan sub-objek dari <math>A</math>. |
||
Himpunan sub-objek dari sebuah objek berupa kelas; pembahasan yang diberikan agak longgar. Jika himpunan sub-objek dari setiap objek adalah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] disebut sebagai ''pangkat well'' atau terkadang ''pangkat kecil lokal''. |
|||
== Contoh == |
== Contoh == |
||
{{Cat see also|Objek hasil bagi}} |
{{Cat see also|Objek hasil bagi}} |
||
* Dalam '''Himpunan''', [[kategori himpunan]], subobjek dari ''A'' dengan [[himpunan bagian]] ''B'' dari ''A'', atau himpunan semua peta dari himpunan [[ekuipoten]] ''B'' dengan [[Citra (matematika)|citra]]. Urutan parsial subobjek dari '''Himpunan''' untuk himpunan bagian [[Kisi (order)|kisi]]. |
|||
* Dalam '''Grp''', [[kategori grup]], sub-objek dari ''A'' dengan [[subgrup]] dari ''A''. |
|||
* Diberikan [[kelas berurutan parsial]] '''P''' = (''P'', ≤), membentuk kategori dengan elemen ''P'' sebagai objek, dan satu panah dari ''p'' ke ''q'' jika dan hanya jika ''p'' ≤ ''q''. Jika '''P''' menggunakan elemen terbesar, urutan parsial subobjek dari elemen terbesar. Semua panah dalam kategori adalah monomorfisme. |
|||
* Subobjek dari [[objek terminal]] disebut [[objek subterminal]]. |
|||
== Lihat pula == |
== Lihat pula == |
||
Baris 33: | Baris 37: | ||
* {{cite book | editor1-last=Pedicchio | editor1-first=Maria Cristina | editor2-last=Tholen | editor2-first=Walter | title=Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=97 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2004 | isbn=0-521-83414-7 | zbl=1034.18001 }} |
* {{cite book | editor1-last=Pedicchio | editor1-first=Maria Cristina | editor2-last=Tholen | editor2-first=Walter | title=Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=97 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2004 | isbn=0-521-83414-7 | zbl=1034.18001 }} |
||
[[Kategori: |
[[Kategori:Objek (teori kategori)]] |
Revisi terkini sejak 9 Mei 2021 15.45
Dalam teori kategori, cabang dari matematika, Subobjek adalah objek dalam objek lain yaitu kategori. Generalisasi untuk konsep himpunan bagian dari teori himpunan, subgrup dari teori grup,[1] dan subruang dari topologi. Karena struktur detail objek non-material dalam teori kategori, mendefinisikan subobjek dengan morfisme dari satu objek dalam objek lain untuk penggunaan elemen.
Konsep ganda untuk subobjek adalah objek hasil bagi. Untuk menggeneralisasi konsep himpunan hasil bagi, grup hasil bagi, ruang hasil bagi, grafik hasil bagi, dll.
Definisi
[sunting | sunting sumber]Secara detail, maka adalah objek dari beberapa kategori. Diberikan dua monomorfisme
dengan kodomain , untuk jika faktor melalui , jika dengan . Relasi biner didefinisikan oleh
adalah relasi ekuivalen pada monomorfisme dengan kodomain , dan kelas kesetaraan dari monomorfisme adalah subobjek dari . Ekuivalen didefinisikan sebagai relasi ekuivalen dengan jika dan hanya jika isomorfisme with .)
Relasi ≤ induksi sebuah urutan parsial pada himpunan sub-objek dari .
Himpunan sub-objek dari sebuah objek berupa kelas; pembahasan yang diberikan agak longgar. Jika himpunan sub-objek dari setiap objek adalah himpunan disebut sebagai pangkat well atau terkadang pangkat kecil lokal.
Contoh
[sunting | sunting sumber]- Dalam Himpunan, kategori himpunan, subobjek dari A dengan himpunan bagian B dari A, atau himpunan semua peta dari himpunan ekuipoten B dengan citra. Urutan parsial subobjek dari Himpunan untuk himpunan bagian kisi.
- Dalam Grp, kategori grup, sub-objek dari A dengan subgrup dari A.
- Diberikan kelas berurutan parsial P = (P, ≤), membentuk kategori dengan elemen P sebagai objek, dan satu panah dari p ke q jika dan hanya jika p ≤ q. Jika P menggunakan elemen terbesar, urutan parsial subobjek dari elemen terbesar. Semua panah dalam kategori adalah monomorfisme.
- Subobjek dari objek terminal disebut objek subterminal.
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]Catatan
[sunting | sunting sumber]- ^ Mac Lane, p. 126
Referensi
[sunting | sunting sumber]- Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, 5 (edisi ke-2nd), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8, Zbl 0906.18001
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ed. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.