Invers aditif: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 14 Maret 2022 14.05

Invers aditif (bahasa Inggris: additive inverse) dalam matematika adalah bilangan yang jika ditambahkan ke suatu variabel $a$ , menghasilkan bilangan nol. operasi ini juga dikenal sebagai "bilangan berlawanan" (opposite (number)), "perubahan tanda bilangan" (sign change), dan "negasi" (negation).^[1] Bagi suatu bilangan real, merupakan lawan tandanya: lawan dari suatu bilangan positif adalah bilangan negatif, dan lawan dari suatu bilangan negatif adalah bilangan positif. Bilangan nol adalah invers aditif bilangan itu sendiri.

Kebalikan aditif dari $a$ dilambangkan dengan unary minus: − $a$ (lihat diskusi di bawah). Misalnya, penjumlahan penjumlahan dari 7 adalah −7, karena 7 + (−7) = 0, dan penjumlahan penjumlahan dari −0,3 adalah 0,3, karena −0,3 + 0,3 = 0.

Invers aditif didefinisikan sebagai elemen invers di bawah operasi biner penambahan (lihat diskusi di bawah), yang memungkinkan generalisasi yang luas untuk objek matematika selain angka. Adapun operasi kebalikannya, double invers aditif memiliki tidak berpengaruh: $-(- x) = x$ .

Bilangan kompleks ini, dua dari delapan nilai ⁸√1, saling berlawanan

Contoh

Untuk suatu bilangan, dan umumnya dalam setiap gelanggang, invers aditif dapat dihitung dengan mengalikannya dengan bilangan −1; jadi, $- n = -1 \times n$ . Contoh-contoh gelanggang bilangan adalah bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks.

Hubungan dengan pengurangan

Invers aditif berhubungan erat dengan pengurangan, yang dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan lawannya:

a - b = a + (- b)

.

Sebaliknya, invers aditif dapat dipandang sebagai pengurangan dari nol:

- a = 0 - a

.

Jadi, notasi tanda minus unary dapat dipandang sebagai singkatan untuk pengurangan dengan menghilangkan tanda "0", meskipun dalam tipografi yang benar seharusnya tidak ada spasi setelah uner "−".

Sifat lain

Selain persamaan-persamaan di atas, negasi mempunyai sifat-sifat aljabar berikut:

$-(a + b) = (- a) + (- b)$
$a - (- b) = a + b$
$(- a) \times b = a \times (- b) = -(a \times b)$
$(- a) \times (- b) = a \times b$ , catatan bahwa $(- a) 2 = a 2$

Definisi formal

Notasi + biasanya disediakan untuk operasi biner komutatif, yaitu sedemikian rupa sehingga $x + y = y + x$ , for all $x$ , $y$ . Jika operasi seperti itu menerima elemen identitas $o$ (seperti $x + o ( = o + x) = x$ untuk semua $x$ ), maka elemen ( $o' = o' + o = o$ ). Untuk $x$ tertentu, jika terdapat $x'$ seperti $x + x' ( = x' + x) = o$ , maka $x'$ disebut additif invers dari $x$ .

Jika + adalah asosiatif ( $(x + y) + z = x + (y + z)$ untuk $x$ , $y$ , $z$ ), maka invers aditif adalah

x″ = x″ + o = x″ + (x' + x) = (x″ + x') + x = o + x = x

Misalnya, karena penjumlahan bilangan riil bersifat asosiatif, setiap bilangan riil memiliki invers penjumlahan unik.

Contoh lainnya

Semua contoh berikut ini sebenarnya grup abelian:

bilangan kompleks: $-(a + bi) = (- a) + (- b) i$ . Pada bidang kompleks, operasi ini memutar sebuah bilangan kompleks 180 derajat di sekitar asal (lihat tabel gambar above.
penambahan fungsi bernilai real dan kompleks: di sini, kebalikan aditif dari suatu fungsi $f$ adalah fungsi $f$ yang didefinisikan oleh $(- f)(x) = - f (x)$ , untuk semua $x$ , seperti $f + (- f) = o$ .
urutan, matriks dan jaring juga merupakan jenis fungsi khusus.
Dalam ruang vektor aditif invers -v sering disebut vektor kebalikan dari v; ia memiliki besaran yang sama dengan arah aslinya dan berlawanan. Pembalikan aditif sesuai dengan perkalian skalar dengan −1. Untuk ruang Euklides, adalah titik refleksi di titik asal. Vektor yang berada tepat di arah berlawanan (dikalikan dengan angka negatif) terkadang disebut sebagai antiparalel.
- ruang vektor
Dalam aritmetika modular, invers aditif modular dari $x$ juga ditentukan: itu adalah bilangan $a$ sehingga $a + x \equiv 0 (mod n)$ . Pembalikan aditif ini selalu ada. Sebagai contoh, inversi dari 3 modulo 11 adalah 8 karena merupakan solusi dari $3 + x \equiv 0 (mod 11)$ .

Bukan contoh

Bilangan asli, bilangan pokok, dan bilangan ordinal, tidak memiliki invers penjumlahan dalam masing-masing himpunan. Jadi, misalnya, kita dapat mengatakan bahwa bilangan asli do memiliki invers aditif, tetapi karena invers aditif ini sendiri bukan bilangan asli, himpunan bilangan asli tidak tertutup di bawah mengambil invers aditif.

Lihat pula

Nilai mutlak (berkaitan melalui persamaan $| - x | = | x |$ )
Invers multiplikatif
Identitas aditif
Involusi (matematika)
Simetri refleksi

Referensi

^ Istilah "negation" mengandung rujukan kepada bilangan negatif, dan hal ini tidak benar, karena invers aditif suatu bilangan negatif adalah bilangan positif.

Pustaka

(Inggris) Margherita Barile. "Additive Inverse". MathWorld.

[1] Istilah "negation" mengandung rujukan kepada bilangan negatif, dan hal ini tidak benar, karena invers aditif suatu bilangan negatif adalah bilangan positif.

[1]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
+{{Periksa terjemahan|en|Additive inverse}}
 '''Invers aditif''' ({{lang-en|additive inverse}}) dalam [[matematika]] adalah bilangan yang jika [[penjumlahan|ditambahkan]] ke suatu variabel {{mvar|a}}, menghasilkan bilangan [[0 (angka)|nol]]. [[:en:Operation (mathematics)|operasi]] ini juga dikenal sebagai "bilangan berlawanan" (''opposite (number)''), "perubahan [[tanda (matematika)|tanda bilangan]]" (''sign change''), dan "negasi" (''negation'').<ref>Istilah [[:en:negation (disambiguation)|"negation"]] mengandung rujukan kepada [[:en:negative number|bilangan negatif]], dan hal ini tidak benar, karena invers aditif suatu bilangan negatif adalah bilangan positif.</ref> Bagi suatu [[bilangan real]], merupakan lawan tandanya: lawan dari suatu [[bilangan positif]] adalah bilangan negatif, dan lawan dari suatu [[bilangan negatif]] adalah bilangan positif. Bilangan [[0 (angka)|nol]] adalah invers aditif bilangan itu sendiri.
-<!--
-The additive inverse of {{mvar|a}} is denoted by [[unary operation|unary]] [[minus sign|minus]]: −{{mvar|a}} (see the discussion [[#Relation to subtraction|below]]). For example, the additive inverse of 7 is −7, because 7&nbsp;+&nbsp;(−7)&nbsp;=&nbsp;0, and the additive inverse of −0.3 is 0.3, because −0.3&nbsp;+&nbsp;0.3&nbsp;=&nbsp;0 .
+Kebalikan aditif dari {{mvar|a}} dilambangkan dengan [[Operasi uner|unary]] [[tanda minus|minus]]: −{{mvar|a}} (lihat diskusi [[#Hubungan dengan pengurangan|di bawah]]). Misalnya, penjumlahan penjumlahan dari 7 adalah −7, karena 7 + (−7) = 0, dan penjumlahan penjumlahan dari −0,3 adalah 0,3, karena −0,3 + 0,3 = 0.
-The additive inverse is defined as its [[inverse element]] under the [[binary operation]] of addition (see the discussion [[#Formal definition|below]]), which allows a broad [[generalization]] to mathematical objects other than numbers. As for any inverse operation, [[function composition|double]] additive inverse has [[identity function|no effect]]: {{math|−(−''x'') {{=}} ''x''}}.
-{{anchor|diameter}}[[Image:NegativeI2Root.svg|thumb|right|These complex numbers, two of eight values of [[root of unity|{{radic|1|8}}]], are mutually opposite]]
+Invers aditif didefinisikan sebagai [[elemen invers]] di bawah [[operasi biner]] penambahan (lihat diskusi [[definisi#Formal|di bawah]]), yang memungkinkan [[generalisasi]] yang luas untuk objek matematika selain angka. Adapun operasi kebalikannya, [[komposisi fungsi|double]] invers aditif memiliki [[fungsi identitas|tidak berpengaruh]]: {{math|−(−''x'') {{=}} ''x''}}.[[Gambar:NegativeI2Root.svg|thumb|right|Bilangan kompleks ini, dua dari delapan nilai [[akar persatuan|{{radic|1|8}}]], saling berlawanan]]
--->
 == Contoh ==
-Bagi suatu bilangan, dan umumnya dalam setiap [[:en:ring (algebra)|cincin atau ''ring'']], invers aditif dapat dihitung dengan [[perkalian|mengalikannya]] dengan bilangan [[−1]]; jadi, {{math|1=−{{mvar|n}} = −1 × {{mvar|n}}}} . Contoh-contoh cincin bilangan adalah [[integer]], [[bilangan rasional]], [[bilangan real]], dan [[bilangan kompleks]].
+Untuk suatu bilangan, dan umumnya dalam setiap [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], invers aditif dapat dihitung dengan [[perkalian|mengalikannya]] dengan bilangan [[−1]]; jadi, {{math|1=−{{mvar|n}} = −1 × {{mvar|n}}}} . Contoh-contoh gelanggang bilangan adalah [[bilangan bulat]], [[bilangan rasional]], [[bilangan real]], dan [[bilangan kompleks]].
 === Hubungan dengan pengurangan ===
@@ Baris 14: / Baris 15: @@
 Sebaliknya, invers aditif dapat dipandang sebagai pengurangan dari nol:
 :{{math|−''a''  {{=}}  0 − ''a''}}.
-Jadi, notasi tanda minus ''unary'' dapat dipandang sebagai singkatan untuk pengurangan dengan menghilangkan tanda "0", meskipun dalam [[tipografi]] yang benar seharusnya tidak ada [[:en:space (punctuation)|spasi]] setelah ''unary''&nbsp;"−".
+Jadi, notasi tanda minus ''unary'' dapat dipandang sebagai singkatan untuk pengurangan dengan menghilangkan tanda "0", meskipun dalam [[tipografi]] yang benar seharusnya tidak ada [[spasi]] setelah ''uner'' "−".
 === Sifat lain ===
 Selain persamaan-persamaan di atas, negasi mempunyai sifat-sifat aljabar berikut:
-:{{math|−(''a'' + ''b'') {{=}} (−''a'') + (−''b'')}}
-:{{math|''a'' − (−''b'') {{=}} ''a'' + ''b''}}
-:{{math|(−''a'') × ''b'' {{=}} ''a'' × (−''b'') {{=}} −(''a'' × ''b'')}}
-:{{math|(−''a'') × (−''b'') {{=}} ''a'' × ''b'' }}
-:: patut dicatat, {{math|(−''a'')[[pangkat dua|<sup>2</sup>]] {{=}} ''a''<sup>2</sup> }}
-<!--
-==Formal definition==
-The notation '''+''' is usually reserved for [[commutative]] binary operations, i.e. such that {{math|1={{mvar|x}} + {{mvar|y}} = {{mvar|y}} + {{mvar|x}}}}, for all {{mvar|x}}, {{mvar|y}} . If such an operation admits an [[identity element]] {{mvar|o}} (such that {{math|1={{mvar|x}} + ''o'' ( = ''o'' + {{mvar|x}} ) = {{mvar|x}}}} for all {{mvar|x}}), then this element is unique ( {{math|1=''o′'' = ''o′'' + ''o'' = ''o''}} ). For a given {{mvar|x}} , if there exists {{mvar|x′}} such that {{math|1={{mvar|x}} + {{mvar|x′}} ( = {{mvar|x′}} + {{mvar|x}} ) = ''o''}} , then {{mvar|x′}} is called an '''additive inverse''' of {{mvar|x}}.
+* {{math|−(''a'' + ''b'') {{=}} (−''a'') + (−''b'')}}
-If + is [[associativity|associative]] ({{math|1=( ''x'' + ''y'' ) + ''z'' = ''x'' + ( ''y'' + ''z'' )}} for all {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, {{mvar|z}}), then an additive inverse is unique
+* {{math|''a'' − (−''b'') {{=}} ''a'' + ''b''}}
+* {{math|(−''a'') × ''b'' {{=}} ''a'' × (−''b'') {{=}} −(''a'' × ''b'')}}
+* {{math|(−''a'') × (−''b'') {{=}} ''a'' × ''b'' }}, catatan bahwa {{math|(−''a'')[[pangkat dua|<sup>2</sup>]] {{=}} ''a''<sup>2</sup> }}
+== Definisi formal ==
+Notasi '''+''' biasanya disediakan untuk operasi biner [[komutatif]], yaitu sedemikian rupa sehingga {{math|1={{mvar|x}} + {{mvar|y}} = {{mvar|y}} + {{mvar|x}}}}, for all {{mvar|x}}, {{mvar|y}} . Jika operasi seperti itu menerima [[elemen identitas]] {{mvar|o}} (seperti {{math|1={{mvar|x}} + ''o'' ( = ''o'' + {{mvar|x}} ) = {{mvar|x}}}} untuk semua {{mvar|x}}), maka elemen ( {{math|1=''o′'' = ''o′'' + ''o'' = ''o''}} ). Untuk {{mvar|x}} tertentu, jika terdapat {{mvar|x′}} seperti {{math|1={{mvar|x}} + {{mvar|x′}} ( = {{mvar|x′}} + {{mvar|x}} ) = ''o''}} , maka {{mvar|x′}} disebut '''additif invers''' dari {{mvar | x}}.
+Jika + adalah [[asosiatif | asosiatif]] ({{math|1=( ''x'' + ''y'' ) + ''z'' = ''x'' + ( ''y'' + ''z'' )}} untuk {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, {{mvar|z}}), maka invers aditif adalah
 :{{math|1=''x″'' = ''x″'' + ''o'' = ''x″'' + (''x′'' + ''x'') = (''x″'' + ''x′'') + ''x'' = ''o'' + ''x'' = ''x''}}
+Misalnya, karena penjumlahan bilangan riil bersifat asosiatif, setiap bilangan riil memiliki invers penjumlahan unik.
-For example, since addition of real numbers is associative, each real number has a unique additive inverse.
+== Contoh lainnya ==
+Semua contoh berikut ini sebenarnya [[grup abelian]]:
+* [[bilangan kompleks]]: {{math|−(''a'' + ''bi'')  {{=}}  (−''a'') + (−''b'')''i''}}. Pada [[bidang kompleks]], operasi ini [[rotasi (matematika)|memutar]] sebuah bilangan kompleks 180 [[derajat (sudut)|derajat]] di sekitar [[asal (matematika)|asal]] (lihat tabel gambar [[#diameter|above]].
-== Other examples ==
+* penambahan fungsi bernilai real dan kompleks: di sini, kebalikan aditif dari suatu fungsi {{mvar|f}} adalah fungsi {{mvar|f}} yang didefinisikan oleh {{math|1=(−''f'' )(''x'') = − ''f'' (''x'')}} , untuk semua {{mvar|x}}, seperti {{math|1=''f'' + (−''f'' ) = ''o''}}.
-All the following examples are in fact [[abelian group]]s:
+* [[urutan]], [[matriks (matematika)|matriks]] dan [[jaring (matematika)|jaring]] juga merupakan jenis fungsi khusus.
+* Dalam [[ruang vektor]] aditif invers {{math|-'''v'''}} sering disebut vektor kebalikan dari {{math|'''v'''}}; ia memiliki [[norma (matematika)|besaran]] yang sama dengan arah aslinya dan berlawanan. Pembalikan aditif sesuai dengan [[perkalian skalar]] dengan −1. Untuk [[ruang Euklides]], adalah [[titik refleksi]] di titik asal. Vektor yang berada tepat di arah berlawanan (dikalikan dengan angka negatif) terkadang disebut sebagai '''antiparalel'''.
+** [[ruang vektor]]
+* Dalam [[aritmetika modular]], '''invers aditif modular''' dari {{mvar|x}} juga ditentukan: itu adalah bilangan {{mvar|a}} sehingga {{math|1={{mvar|a}} + {{mvar|x}} ≡ 0 (mod {{mvar|n}})}}.  Pembalikan aditif ini selalu ada. Sebagai contoh, inversi dari 3 modulo 11 adalah 8 karena merupakan solusi dari {{math|1= 3 + ''x'' ≡ 0 (mod 11)}}.
+== Bukan contoh ==
-* [[complex number]]s: {{math|−(''a'' + ''bi'')  {{=}}  (−''a'') + (−''b'')''i''}}. On the [[complex plane]], this operation [[rotation (mathematics)|rotates]] a complex number 180 [[degree (angle)|degrees]] around the [[origin (mathematics)|origin]] (see the image [[#diameter|above]]).
+[[Bilangan asli]], [[bilangan pokok]], dan [[bilangan ordinal]], tidak memiliki invers penjumlahan dalam masing-masing [[Himpunan (matematika)|himpunan]]. Jadi, misalnya, kita dapat mengatakan bahwa bilangan asli ''do'' memiliki invers aditif, tetapi karena invers aditif ini sendiri bukan bilangan asli, himpunan bilangan asli tidak [[penutupan (matematika)|''tertutup'']] di bawah mengambil invers aditif.
-* addition of real- and complex-valued functions: here, the additive inverse of a function {{mvar|f}} is the function −{{mvar|f}} defined by {{math|1=(−''f'' )(''x'') = − ''f'' (''x'')}} , for all {{mvar|x}}, such that {{math|1=''f'' + (−''f'' ) = ''o''}} , the zero function ( {{math|1=''o''(''x'') = 0}} for all {{mvar|x}} ).
-* more generally, what precedes applies to all functions with values in an abelian group ('zero' meaning then the identity element of this group):
-* [[sequence]]s, [[matrix (mathematics)|matrices]] and [[net (mathematics)|nets]] are also special kinds of functions.
-* In a [[vector space]] the additive inverse {{math|−'''v'''}} is often called the opposite vector of {{math|'''v'''}}; it has the same [[norm (mathematics)|magnitude]] as the original and opposite direction. Additive inversion corresponds to [[scalar multiplication]] by −1. For [[Euclidean space]], it is [[point reflection]] in the origin. Vectors in exactly opposite directions (multiplied to negative numbers) are sometimes referred to as '''antiparallel'''.
-** [[vector space]]-valued functions (not necessarily linear),
-* In [[modular arithmetic]], the '''modular additive inverse''' of {{mvar|x}} is also defined: it is the number {{mvar|a}} such that {{math|1={{mvar|a}} + {{mvar|x}} ≡ 0 (mod {{mvar|n}})}}.  This additive inverse always exists. For example, the inverse of 3 modulo 11 is 8 because it is the solution to {{math|1= 3 + ''x'' ≡ 0 (mod 11)}}.
-== Non-examples ==
-[[Natural number]]s, [[cardinal number]]s, and [[ordinal number]]s, do not have additive inverses within their respective [[Set (mathematics)|sets]].  Thus, for example, we can say that natural numbers ''do'' have additive inverses, but because these additive inverses are not themselves natural numbers, the set of natural numbers is not [[closure (mathematics)|''closed'']] under taking additive inverses.
--->
 == Lihat pula ==
 * [[Nilai mutlak]] (berkaitan melalui persamaan {{math|{{!}} −''x'' {{!}} {{=}} {{!}} ''x'' {{!}} }})
 * [[Invers multiplikatif]]
-* [[Additive identity]]
+* [[Identitas aditif]]
-* [[Involution (mathematics)]]
+* [[Involusi (matematika)]]
-* [[Reflection symmetry]]
+* [[Simetri refleksi]]
-== Referencsi ==
+== Referensi ==
 {{reflist}}
@@ Baris 60: / Baris 60: @@
 * {{MathWorld|title=Additive Inverse|urlname=AdditiveInverse|author=Margherita Barile}}
-[[Kategori:Aljabar dasar]]
+[[Kategori:Aljabar elementer]]
 [[Kategori:Aritmetika]]