Bilangan asli

Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.

Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.

Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano Diarsipkan 2007-08-19 di Wayback Machine.).

Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.

Sejarah bilangan asli

Bilangan asli memiliki asal dari kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-benda, dimulai dari bilangan satu.

Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan sistem bilangan untuk melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang Babylonia mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang Mesir kuno memiliki sistem bilangan dengan hieroglif berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari Karnak, tertanggal sekitar 1500 SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.

Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam notasi posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut.^[a] Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan India, Brahmagupta.

Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan teori himpunan. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan himpunan kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, logika dan ilmu komputer.^[2] Matematikawan lain, seperti dalam bidang teori bilangan, bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.^[3]

Penulisan

Himpunan bilangan asli umumnya dilambangkan $\mathbf {N}$ atau $\mathbb {N}$ . Ada sumber yang terkadang melambangkan himpunan bilangan asli sebagai $J$ .^[4]

Karena bilangan asli dapat mengandung $0$ atau tidak, adakala pentingnya untuk mengetahui versi manakah yang dimaksud. Ini sering kali dinyatakan berdasarkan konteks, tetapi juga dapat dinyatakan melalui penggunaan subskrip atau superskrip di notasinya, seperti:^[5]^[6]

Bilangan asli tanpa adanya nol: $\{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1}$
Bilangan asli dengan nol: $\;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

Karena bilangan asli membentuk subhimpunan dari bilangan bulat (sering kali dilambangkan $\mathbb {Z}$ ), bilangan asli dapat disebut sebagai bilangan bulat positif atau bilangan bulat non-negatif. Untuk menghindari kerancuan apakah nol termasuk ke dalam himpunan bilangan atau tidak, sering kali dalam penulisan ditambahkan indeks (superskrip). Indeks "0" digunakan untuk memasukkan angka 0 kedalam himpunan, dan indeks " $*$ " atau " $1$ " ditambahkan untuk tidak memasukkan angka 0 kedalam himpunan.

{\begin{aligned}\mathbb {N} ^{0}&=\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\ldots \}\\\mathbb {N} ^{*}&=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{1}=\mathbb {N} _{>0}=\{1,2,\ldots \}.\end{aligned}}

Sifat

Penambahan

Diberikan suatu himpunan bilangan asli $\mathbb {N}$ dan fungsi penerus $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ yang mengirim bilangan asli kepada bilangan selanjutnya, penambahan dari himpunan bilangan asli dapat didefinisikan secara rekursif dengan menetaplan $a+0=a$ dan $a+S(b)=S(a+b)$ untuk semua $a$ dan $b$ . Maka, $(\mathbb {N} ,+)$ adalah monoid komutatif dengan elemen identitas 0, yang disebut monoid bebas dengan satu generator. Monoid komutatif ini memenuhi sifat pembatalan, dan dapat dimasukkan ke dalam suatu grup. Grup terkecil yang berisi bilangan asli adalah bilangan bulat.

Bila 1 didefinisikan sebagai $S(0)$ , maka $b+1=b+S(0)=S(b+0)=S(b)$ . Itu berarti, $b+1$ adalah penerus dari $b$ .

Perkalian

Secara analogi, diberikan bahwa penambahan himpunan bilangan asli didefinisikan di atas (lihat § Penambahan), operator perkalian $\times$ dapat didefinisikan melalui $a\times 0=0$ dan $a\times S(b)=(a\times b)+a$ . Ini mengubah $(\mathbb {N} ^{\star },\times )$ menjadi monoid komutatif bebas dengan elemen identitas 1; generator set untuk monoid ini adalah himpunan bilangan prima.

Hubungan antara penjumlahan dan perkalian

Penambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam distribusi: $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ . Sifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari komutatif semiring. Semiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya aditif invers, yang ekuivalen dengan fakta bahwa $\mathbb {N}$ tidak tertutup di bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu bilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan bilangan asli), berarti bahwa $\mathbb {N}$ bukanlah gelanggang; melainkan semiring.

Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × dinyatakan seperti di atas, kecuali diawali dengan $a + 1 = S (a)$ and $a \times 1 = a$ .

Sifat aljabar yang dipenuhi bilangan asli

Operasi penambahan (+) dan perkalian (×) pada bilangan asl, seperti yang didefinisikan sebelumnya, memiliki beberapa sifat-sifat aljabar:

Ketertutupan di bawah penambahan dan perkalian: untuk semua bilangan asli $a$ dan $b$ , maka $a + b$ dan $a \times b$ adalah bilangan asli.^[7]
Pengelompokan: untuk semua bilangan asli $a$ , $b$ , dan $c$ , maka $a + (b + c) = (a + b) + c$ dan $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ .^[8]
Pertukaran: untuk semu bilangan asli $a$ dan $b$ , maka $a + b = b + a$ dan $a \times b = b \times a$ .^[9]
Keberadaan elemen identitas: untuk setiap bilangan asli $a$ , $a + 0 = a$ dan $a \times 1 = a$ .
Distribusi dari perkalian atas penambahan untuk semua bilangan asli $a$ , $b$ , dan $c$ , $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ .
Tidak ada pembagi nol tak-nol: bila $a$ dan $b$ adalah bilangan asli sehingga $a \times b = 0$ , maka $a = 0$ atau $b = 0$ (atau kedua-duanya).

Ketakhinggaan

Himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga. Menurut definisi, jenis tak hingga ini disebut countably infinite. Semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam relasi bijektif dengan bilangan asli dikatakan memiliki jenis ketakhinggaan ini. Hal ini juga diungkapkan dengan mengatakan bahwa bilangan kardinal dari himpunan tersebut adalah alef-nol ( $ℵ 0$ ).^[10]

Lihat pula

Bilangan#Klasifikasi untuk sistem bilangan lain (seperti bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, dan lain sebagainya.)
Himpunan terhitung
Masalah identifikasi Benacerraf
Representasi kanonik bilangan bulat positif

Catatan

^ A tablet found at Kish ... thought to date from around 700 BC, uses three hooks to denote an empty place in the positional notation. Other tablets dated from around the same time use a single hook for an empty place.^[1]

Referensi

^ "A history of Zero". MacTutor History of Mathematics. Diarsipkan dari versi asli tanggal 19 January 2013. Diakses tanggal 23 January 2013.
^ Michael L. Gorodetsky (2003-08-25). "Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nineteen year cycle of Dionysius". Hbar.phys.msu.ru. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-01-15. Diakses tanggal 2012-02-13.
^ Ini umum di dalam buku ajar mengenai analisis real. Sebagai contoh, lihat Carothers (2000), hlm. 3; atau Thomson, Bruckner & Bruckner (2008), hlm. 2.
^ Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. hlm. 25. ISBN 978-0-07-054235-8.
^ "Standard number sets and intervals" (PDF). ISO 80000-2:2019. International Organization for Standardization. 19 May 2020. hlm. 4.
^ Grimaldi, Ralph P. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction (edisi ke-5). Pearson Addison Wesley. ISBN 978-0-201-72634-3.
^ Fletcher, Harold; Howell, Arnold A. (2014-05-09). Mathematics with Understanding (dalam bahasa Inggris). Elsevier. hlm. 116. ISBN 978-1-4832-8079-0. ...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication" [...himpunan bilangan asli tertutup di bawah penambahan... himpunan bilangan asli tertutup di bawah perkalian
^ Davisson, Schuyler Colfax (1910). College Algebra (dalam bahasa Inggris). Macmillian Company. hlm. 2. Addition of natural numbers is associative. [Penambahan dari bilangan asli adalah asosiatif (pengelompokan).]
^ Brandon, Bertha (M.); Brown, Kenneth E.; Gundlach, Bernard H.; Cooke, Ralph J. (1962). Laidlaw mathematics series (dalam bahasa Inggris). 8. Laidlaw Bros. hlm. 25.
^ (Inggris) Weisstein, Eric W. "Cardinal Number". MathWorld.

Bibliografi

Carothers, N.L. (2000). Real Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49756-5 – via Google Books.

Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008). Elementary Real Analysis (edisi ke-2). ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8 – via Google Books.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Natural number", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
"Axioms and construction of natural numbers". apronus.com.

Templat:Kelas bilangan asli

[2] A tablet found at Kish ... thought to date from around 700 BC, uses three hooks to denote an empty place in the positional notation. Other tablets dated from around the same time use a single hook for an empty place.^[1]

[1] "A history of Zero". MacTutor History of Mathematics. Diarsipkan dari versi asli tanggal 19 January 2013. Diakses tanggal 23 January 2013.

[3] Michael L. Gorodetsky (2003-08-25). "Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nineteen year cycle of Dionysius". Hbar.phys.msu.ru. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-01-15. Diakses tanggal 2012-02-13.

[4] Ini umum di dalam buku ajar mengenai analisis real. Sebagai contoh, lihat Carothers (2000), hlm. 3; atau Thomson, Bruckner & Bruckner (2008), hlm. 2.

[5] Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. hlm. 25. ISBN 978-0-07-054235-8.

[6] "Standard number sets and intervals" (PDF). ISO 80000-2:2019. International Organization for Standardization. 19 May 2020. hlm. 4.

[7] Grimaldi, Ralph P. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction (edisi ke-5). Pearson Addison Wesley. ISBN 978-0-201-72634-3.

[8] Fletcher, Harold; Howell, Arnold A. (2014-05-09). Mathematics with Understanding (dalam bahasa Inggris). Elsevier. hlm. 116. ISBN 978-1-4832-8079-0. ...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication" [...himpunan bilangan asli tertutup di bawah penambahan... himpunan bilangan asli tertutup di bawah perkalian

[9] Davisson, Schuyler Colfax (1910). College Algebra (dalam bahasa Inggris). Macmillian Company. hlm. 2. Addition of natural numbers is associative. [Penambahan dari bilangan asli adalah asosiatif (pengelompokan).]

[10] Brandon, Bertha (M.); Brown, Kenneth E.; Gundlach, Bernard H.; Cooke, Ralph J. (1962). Laidlaw mathematics series (dalam bahasa Inggris). 8. Laidlaw Bros. hlm. 25.

[11] (Inggris) Weisstein, Eric W. "Cardinal Number". MathWorld.

[a]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[1]

l b s Sistem bilangan
Himpunan terhitung	Bilangan asli ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Bilangan bulat ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Bilangan rasional ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Bilangan aljabar ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Perioda Bilangan terkomputasi Bilangan aritmetis
Bilangan riil dan cabangan	Bilangan riil ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Bilangan kompleks ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Kuaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Oktonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sedenion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Aljabar Cayley–Dickson Bilangan rangkap Bilangan kompleks hiperbolik Bilangan hiperkompleks Bilangan superreal Bilangan irasional Bilangan transenden Bilangan hiperreal Bilangan surreal
Sistem lain	Bilangan kardinal Bilangan ordinal Bilangan p-adik Bilangan supernatural