Pengali Lagrange: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 10 Juli 2022 01.40

Pengali Lagrange adalah metode untuk mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Metode ini dinamai dari matematikawan Prancis-Italia Joseph-Louis Lagrange.^[1]

Apabila hanya ada satu batasan dan dua pilihan variabel, pertimbangkan permasalahan optimisasi berikut:

maksimisasi

f (x, y)

bergantung pada

g (x, y) = 0

.

Diasumsikan bahwa $f$ dan $g$ memiliki turunan parsial pertama. Kemudian ditambahkan variabel baru ( $λ$ ) yang disebut "pengali Lagrange", dan fungsi Lagrange didefinisikan sebagai berikut:

{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y),

$λ$ dapat ditambahkan atau dikurangi. Jika $f (x 0, y 0)$ adalah nilai maksimum $f (x, y)$ , maka terdapat $λ 0$ sehingga $(x 0, y 0, λ 0)$ adalah titik stasioner untuk fungsi Lagrange. (titik stasioner adalah titik engan turunan parsial ${\mathcal {L}}$ yang bernilai nol). Namun, tidak semua titik stasioner menghasilkan solusi untuk permasalahan awalnya. Maka dari itu, metode pengali Lagrange menghasilkan kondisi yang diperlukan untuk optimalitas dalam permasalahan yang terbatasi.^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]

Untuk kasus umum dengan jumlah n (variabel) yang sembarang dan jumlah M (batasan) yang sembarang, bentuk Lagrangenya adalah:

{\mathcal {L}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{M}\right)=f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)-\sum \limits _{k=1}^{M}{\lambda _{k}g_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)},

sekali lagi optimum f yang terbatasi sama dengan titik stasioner ${\mathcal {L}}.$

Catatan kaki[sunting | sunting sumber]

^ Mécanique Analytique sect. IV, 2 vols. Paris, 1811 https://archive.org/details/mcaniqueanalyt01lagr
^ Bertsekas, Dimitri P. (1999). Nonlinear Programming (edisi ke-Second). Cambridge, MA.: Athena Scientific. ISBN 1-886529-00-0.
^ Vapnyarskii, I.B. (2001) [1994], "Lagrange multipliers", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 .
^
- Lasdon, Leon S. (1970). Optimization theory for large systems. Macmillan series in operations research. New York: The Macmillan Company. hlm. xi+523. MR 0337317.
- Lasdon, Leon S. (2002). Optimization theory for large systems (edisi ke-reprint of the 1970 Macmillan). Mineola, New York: Dover Publications, Inc. hlm. xiii+523. MR 1888251.
^ Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (1993). "XII Abstract duality for practitioners". Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 306. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 136–193 (and Bibliographical comments on pp. 334–335). ISBN 3-540-56852-2. MR 1295240.
^ Lemaréchal, Claude (2001). "Lagrangian relaxation". Dalam Michael Jünger and Denis Naddef. Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May 15–19, 2000. Lecture Notes in Computer Science. 2241. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 112–156. doi:10.1007/3-540-45586-8_4. ISBN 3-540-42877-1. MR 1900016.

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

[1] Mécanique Analytique sect. IV, 2 vols. Paris, 1811 https://archive.org/details/mcaniqueanalyt01lagr

[2] Bertsekas, Dimitri P. (1999). Nonlinear Programming (edisi ke-Second). Cambridge, MA.: Athena Scientific. ISBN 1-886529-00-0.

[3] Vapnyarskii, I.B. (2001) [1994], "Lagrange multipliers", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 .

[4] 
Lasdon, Leon S. (1970). Optimization theory for large systems. Macmillan series in operations research. New York: The Macmillan Company. hlm. xi+523. MR 0337317.

Lasdon, Leon S. (2002). Optimization theory for large systems (edisi ke-reprint of the 1970 Macmillan). Mineola, New York: Dover Publications, Inc. hlm. xiii+523. MR 1888251.

[5] Lasdon, Leon S. (1970). Optimization theory for large systems. Macmillan series in operations research. New York: The Macmillan Company. hlm. xi+523. MR 0337317.

[6] Lasdon, Leon S. (2002). Optimization theory for large systems (edisi ke-reprint of the 1970 Macmillan). Mineola, New York: Dover Publications, Inc. hlm. xiii+523. MR 1888251.

[5] Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (1993). "XII Abstract duality for practitioners". Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 306. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 136–193 (and Bibliographical comments on pp. 334–335). ISBN 3-540-56852-2. MR 1295240.

[6] Lemaréchal, Claude (2001). "Lagrangian relaxation". Dalam Michael Jünger and Denis Naddef. Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May 15–19, 2000. Lecture Notes in Computer Science. 2241. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 112–156. doi:10.1007/3-540-45586-8_4. ISBN 3-540-42877-1. MR 1900016.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Baris 11: / Baris 11: @@
 {{mvar|λ}} dapat ditambahkan atau dikurangi. Jika {{math|''f''(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}} adalah nilai maksimum {{math|''f''(''x'', ''y'')}}, maka terdapat {{math|''λ''<sub>0</sub>}} sehingga {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''λ''<sub>0</sub>)}} adalah [[titik stasioner]] untuk fungsi Lagrange. (titik stasioner adalah titik engan turunan parsial <math>\mathcal{L}</math> yang bernilai nol). Namun, tidak semua titik stasioner menghasilkan solusi untuk permasalahan awalnya. Maka dari itu, metode pengali Lagrange menghasilkan [[kondisi yang diperlukan]] untuk optimalitas dalam permasalahan yang terbatasi.<ref>{{cite book  | last = Bertsekas  | first = Dimitri P.| authorlink = Dimitri P. Bertsekas | title = Nonlinear Programming| edition = Second  | publisher = Athena Scientific | year = 1999  | location = Cambridge, MA.  | isbn = 1-886529-00-0 }}</ref><ref>{{springer | id=Lagrange_multipliers | title=Lagrange multipliers| first=I.B. | last=Vapnyarskii }}.</ref><ref>
-* {{cite book|last=Lasdon|first=Leon&nbsp;S.|title=Optimization theory for large systems|publisher=The Macmillan Company|series=Macmillan series in operations research|location=New York|year=1970|pages=xi+523|mr=337317}}
+* {{cite book|last=Lasdon|first=Leon&nbsp;S.|title=Optimization theory for large systems|url=https://archive.org/details/optimizationtheo0000leon|publisher=The Macmillan Company|series=Macmillan series in operations research|location=New York|year=1970|pages=xi+523|mr=337317}}
-* {{cite book|last=Lasdon|first=Leon&nbsp;S.|title=Optimization theory for large systems|publisher=Dover Publications, Inc.|location=Mineola, New York|year=2002|edition=reprint of the 1970 Macmillan|pages=xiii+523|mr=1888251}}</ref><ref>
+* {{cite book|last=Lasdon|first=Leon&nbsp;S.|title=Optimization theory for large systems|url=https://archive.org/details/optimizationtheo0000lasd|publisher=Dover Publications, Inc.|location=Mineola, New York|year=2002|edition=reprint of the 1970 Macmillan|pages=xiii+523|mr=1888251}}</ref><ref>
 {{cite book|last1=Hiriart-Urruty|first1=Jean-Baptiste|last2=Lemaréchal|first2=Claude|chapter=XII&nbsp;Abstract duality for practitioners|title=Convex analysis and minimization algorithms, Volume&nbsp;II: Advanced theory and bundle methods|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]| volume=306 |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin|year=1993|pages=136–193 (and Bibliographical comments on pp.&nbsp;334–335)| isbn=3-540-56852-2|mr=1295240|authorlink2=Claude Lemaréchal}}</ref><ref>{{cite book|last=Lemaréchal|first=Claude
 |chapter=Lagrangian relaxation|pages=112–156|title=Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May&nbsp;15–19,&nbsp;2000|editor=Michael Jünger and Denis Naddef|series=Lecture Notes in Computer Science| volume=2241 |publisher=Springer-Verlag| location=Berlin |year=2001 |isbn=3-540-42877-1 |mr=1900016 | doi=10.1007/3-540-45586-8_4|authorlink=Claude Lemaréchal}}</ref>
@@ Baris 18: / Baris 18: @@
 Untuk kasus umum dengan jumlah ''n'' (variabel) yang sembarang dan jumlah ''M'' (batasan) yang sembarang, bentuk Lagrangenya adalah:
-:<math>\mathcal{L}\left( x_1,\ldots , x_n, \lambda_1, \ldots, \lambda _M \right) = f\left( x_1, \ldots, x_n \right) - \sum\limits_{k=1}^M {\lambda_k g_k\left( x_1, \ldots , x_n \right)},</math>
+:<math>\mathcal{L}\left( x_1,\ldots, x_n, \lambda_1, \ldots, \lambda _M \right) = f\left( x_1, \ldots, x_n \right) - \sum\limits_{k=1}^M {\lambda_k g_k\left( x_1, \ldots, x_n \right)},</math>
 sekali lagi optimum ''f'' yang terbatasi sama dengan titik stasioner <math>\mathcal{L}.</math>