Titik stasioner

Halaman ini berisi artikel tentang titik stasioner atau titik kritis suatu fungsi dengan variabel riil. Untuk konsep umum, lihat titik kritis (matematika).

Titik stasioner ditunjukkan dengan lingkaran merah. Di dalam grafik ini, titik-titiknya merupakan maksima atau minima relatif. Kotak berwarna biru merupakan titik belok.

Dalam matematika, khususnya bidang kalkulus, titik stasioner atau titik pegun dari fungsi terdiferensialkan adalah suatu titik dalam domain fungsi tersebut dengan nilai turunan pertama pada titik itu sama dengan nol. Dengan kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" berubah, naik atau turun, pada titik tersebut. Untuk fungsi beberapa peubah riil yang dapat diturunkan, titik stasioner adalah titik dalam domain fungsi yang nilai turunan parsialnya sama dengan nol.

Titik stasioner mudah terlihat pada suatu grafik fungsi satu peubah, karena titik tersebut terletak di titik dengan garis singgung mendatar (yakni sejajar dengan sumbu-x). Untuk fungsi dengan dua peubah, titik ini sama dengan titik di grafik dengan bidang singgung yang sejajar dengan bidang xy.

Definisi

Misalkan suatu fungsi $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ dapat diturunkan pada titik $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}.$ Titik $\mathbf {a}$ adalah suatu titik stasioner fungsi $f$, jika untuk setiap $i=1,2,\ldots ,n$ berlaku

$\nabla f(\mathbf {a} )=\operatorname {grad} f(\mathbf {a} )=\mathbf {0} \Leftrightarrow {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {a} )=0.$

Notasi $\operatorname {grad} f(\mathbf {a} )$ menyatakan gradien dari fungsi $f(\mathbf {a} )$.

Untuk fungsi satu peubah $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, definisi titik stasioner dapat disederhanakan menjadi: Titik $a$ adalah suatu titik stasioner jika $f'(a)=0$.

Klasifikasi

Lihat pula: Maksimum dan minimum

Sebuah grafik fungsi, dengan lokasi titik-titik stationer ditandai.

Titik stasioner fungsi $C^{1}$ bernilai riil $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dapat digolongkan menjadi empat jenis, dari hasil uji turunan pertama:

• Minimum lokal adalah titik ketika turunan fungsi berubah dari negatif menjadi positif;
• Maksimum lokal adalah titik ketika turunan fungsi berubah dari positif menjadi negatif
• Titik belok yang naik adalah titik ketika turunan fungsi bernilai positif di kedua sisi titik stasioner
• Titik belok yang turun adalah titik ketika turunan fungsi bernilai negatif di kedua sisi titik stasioner;

Titik stasioner jenis pertama dan kedua disebut "ekstrema lokal". Sementara itu, titik yang merupakan maksimum atau minimum global/absolut disebut ekstremum global/absolut. Dua jenis titik stasioner berikutnya yang bukan merupakan ekstremum lokal disebut titik sadel.

Penggambaran kurva

Penentuan posisi dan sifat titik stasioner membantu proses penggambaran kurva fungsi yang dapat diturunkan. Penyelesaian persamaan f'(x) = 0 menghasilkan koordinat x semua titik stasioner; koordinat y adalah nilai fungsi di koordinat x tersebut. Sifat suatu titik stasioner di x dapat ditentukan dengan melihat turunan kedua f''(x):

• Jika f''(x) < 0, titik stasioner di x merupakan ekstremum maksimum
• Jika f''(x) > 0, titik stasioner di x merupakan ekstremum minimum
• Jika f''(x) = 0, sifat titik stasioner harus ditentukan dengan cara lain

Cara yang lebih mudah adalah dengan mencari nilai fungsi di antara titik stasioner (jika fungsi didefinisikan dan tidak terputus).

Pranala luar

• Inflection Points of Fourth Degree Polynomials — a surprising appearance of the golden ratio at cut-the-knot