Teorema ketunggalan Alexandrov

Teorema ketunggalan Alexandrov merupakan teorema kekakuan dalam matematika, yang menjelaskan polihedron cembung berdimensi tiga melibatkan jarak antar titik pada permukaannya. Teorema ini menyiratkan bahwa polihedron cembung dengan jarak yang berbeda satu sama lain juga mempunyai ruang metrik berbeda dari jarak permukaan, dan polihedron tersebut menggambarkan ruang metrik yang berasal dari jarak permukaan polihedron. Teorema ini dinamai dari seorang matematikawan bernama Aleksandr Danilovich Aleksandrov, yang diterbitkan pada tahun 1940-an.

Pernyataan teorema

Permukaan dari sebuah polihedron cembung dalam ruang Euklides membentuk sebuah ruang metrik, dengan jarak antara dua titik diukur melalui jarak dari lintasan terpanjang dari satu titik ke titik lain di sepanjang permukaan. Dalam lintasan yang paling terpendek, jarak antara pasangan titik sama dengan jarak antara titik yang berpadanan pada sebuah ruas garis dengan jarak yang sama. Lintasan dengan sifat tersebut dikenal sebagai geodesik. Sifat permukaan polihedron ini yang mengatakan bahwa setiap pasangan titik dihubungkan melalui sebuah geodesik, tidaklah benar untuk banyak ruang metrik lain; dan jika hal tersebut benar, maka ruang itu disebut ruang geodesik. Ruang geodesik dibentuk dari permukaan polihedron yang disebut sebagai pengembangan.

Empat heksagon beraturan dapat dilipat dan direkatkan hingga membentuk permukaan oktahedron beraturan. Pada contoh gambar tersebut, titik sudut dari heksagon tidak berada di rusuk oktahedron.

Polihedron dapat dianggap sebagai sesuatu yang dilipat melalui selembar kertas (jaring dalam polihedron) dan mewarisi geometri yang sama seperti kertas: untuk setiap titik p dalam muka polihedron, terdapat lingkungan terbuka p yang akan mempunyai jarak yang sama sebagai subhimpunan dari bidang Euklides. Pernyataan ini bahkan benar untuk titik di rusuk polihedron: setiap titik p di dalam muka polihedron dapat dimodelkan secara lokal sebagai bidang Euklides yang dilipat di sepanjang garis dan dibenamkan ke dalam ruang dimensi tiga, tetapi lipatannya tidak mengubah struktur lintasan terpendek di sepanjang permukaan. Akan tetapi, titik sudut polihedron mempunyai struktur jarak yang berbeda: geometri lokal dari polihedron titik sudut sama saja dengan geometri lokal pada puncak kerucut. Setiap kerucut dapat dibentuk melalui sebuah lembaran kertas yang datar dengan irisan yang dilepaskan darinya dengan menempelkan ujung-ujung yang terpotong ke tempat dimana irisannya dilepas. Sudut irisan kerucut yang dilepas disebut cacat sudut titik sudut; sudutnya merupakan bilangan positif yang kurang dari 2π. Cacat sudut dari titik sudut polihedron dapat diukur dengan mengurangi sudut muka pada titik sudut 2π. Sebagai contoh, dalam sebuah tetrahedron beraturan, setiap muka sudut bernilai π3, dan masing-masing titik sudut ada tiga, sehingga dengan menguranginya dari 2π memberikan cacat sudut sebesar π di setiap empat titik sudut pada tetrahedron beraturan. Mirip dengan contoh sebelumnya, sebuah kubus mempunyai cacat sudut π2 di setiap delapan titik sudut pada kubus. Teorema Descartes tentang cacat sudut total (yang merupakan bentuk dari teorema Gauss–Bonnet) mengatakan bahwa jumlah cacat sudut dari semua titik sudut selalu tepat bernilai 4π. Singkatnya, pengembangan polihedron cembung disebut geodesik, homeomorfik (ekuivalen secara topologi) menjadi sebuah bola, dan manifold topologi terkecuali untuk jumlah titik kerucut terhingga yang jumlah sudut cacatnya bernilai 4π.

Teorema Alexandrov memberikan gambaran umum tentang penjelasan berikut: Jika sebuah ruang metrik (X, d) adalah geodesik, homeomorfik ke bola, dan merupakan manifold topologi kecuali jumlah titik kerucut terhingga dari cacat sudut positif (yang dijumlahkan menjadi 4π), maka ada polihedron cembung yang pengembangannya merupakan ruang metrik (X, d). Terlebih lagi, polihedron ini didefinisikan secara khusus melalui metrik: setiap dua polihedron cembung dengan metrik permukaan yang sama harus kongruen dengan satu sama lain sebagai himpunan berdimensi tiga.

Keterbatasan

Polihedron yang mewakili ruang metrik yang diberikan dapat mengalami kemerosotan. Polihedron ini dapat membentuk sebuah poligon cembung berdimensi dua tertutup ganda (yaitu dihedron) dan bukan polihedron berdimensi tiga penuh. Pada kasus ini, metrik permukaannya terdiri dari dua salinan poligon (dua rusuknya) direkatkan di sepanjang rusuk yang berpadanan.

Ikosahedron beraturan mempunyai metrik permukaan yang sama seperti deltahedron takcembung, yang salah satu dari lima limas segitiga didorong alih-alih menonjol.

Walaupun teorema Alexandrov mengatakan bahwa terdapat polihedron cembung tunggal yang permukaannya mempunyai metrik tertentu, teorema ini juga dapat mengatakan untuk terdapat polihedron takcembung dengan metrik yang sama. Contohnya seperti ikosahedron beraturan: jika ada lima segitiga darinya dihilangkan dan diganti dengan lima segitiga kongruen yang membentuk lekukan pada polihedron tersebut, maka hasil metrik permukaannya tetap tidak berubah.

Pengembangan suatu polihedron dapat dinyatakan secara konkret melalui kumpulan dari poligon berdimensi dua yang direkatkan di sepanjang rusuknya agar membentuk ruang metrik, dan syarat-syarat teorema Alexandrov mengenai ruang yang dinyatakan dengan cara ini dapat diperiksa dengan mudah. Akan tetapi, rusuk-rusuknya untuk dua poligon yang direkatkan dapat menjadi datar dan berada di dalam muka polihedron yang dihasilkan, bukan berada di rusuk polihedron. (Contoh mengenai penjelasan ini dapat dilihat ilustrasi mengenai empat heksagon yang ditempel membentuk sebuah oktahedron.) Bahkan ketika pengembangan dijelaskan dengan cara di atas, hal tersebut tidak dapat menjelaskan bentuk polihedron yang dihasilkan, bentuk muka apakah yang dimiliki, atau bahkan berapa banyak mukanya yang dimiliki. Bukti asli Alexandrov tidak merujuk ke sebuah algoritma yang membangun polihedron (misalnya dengan memberikan koordinat untuk titik sudutnya) yang membentuk ruang metrik yang diberikan. Pada tahun 2008, Bobenko dan Izmestiev menyediakan algoritma yang dapat mengaproksimasi koordinat dengan akurat dan sembarang dalam waktu polinomial semu.

Hasil yang berkaitan

Salah satu teorema keunikan dan keberadaan pertama kalinya mengenai polihedron cembung adalah teorema Cauchy. Teorema ini mengatakan bahwa sebuah polihedron cembung dinyatakan secara khusus sebagai bentuk dan keterhubungan dari mukanya. Teorema Alexandrov memperkuat pernyataan ini dengan memperlihatkan bahkan jika mukanya dapat dibengkokkan atau dilipat, tanpa perekatan ataupun penyusutan, keterhubungannya tetap menyatakan bentuk polihedron. Selanjutnya, bagian teorema Alexandrov tentang keberadaan polihedron yang memperkuat teorema Cauchy mengenai kekakuan infinitesimal dibuktikan oleh Max Dehn.

Hasil yang serupa mengenai teorema Alexandrov berlaku untuk permukaan cembung mulus, yang mengatakan bahwa sebuah manifold Riemann berdimensi dua, yang seluruh kurva Gauss adalah positif dan totalnya bernilai 4π, dapat diwakili secara khusus sebagai permukaan benda cembung mulus dalam dimensi tiga. Ketunggalan representasi ini merupakan hasil percobaan dari Stephan Cohn-Vossen pada tahun 1927, dengan setiap syarat keberaturan pada permukannya dihilangkan dalam penelitian selanjutnya. Keberadaannya dibuktikan oleh Alexandrov melalui sebuah argumen yang melibatkan limit dari metrik polihedron. Aleksei Pogorelov menyamaratakan kedua hasil tersebut, dan menggambarkan pengembangan benda cembung sembarang dalam dimensi tiga.

Hasil terkait dari Pogorelov lainnya mengenai ruang metrik geodesik yang berasal dari polihedron cembung adalah versi dari teorema tiga geodesik. Teorema ini mengatakan bahwa setiap polihedron cembung setidaknya memiliki tiga kuasigeodesik tertutup sederhana. Kuasigeodesik tersebut berupa kurva yang pada dasarnya merupakan garis lurus lokal kecuali bila melewati titik sudut, dengan kurva-kurvanya harus memiliki sudut kurang dari π pada kedua sisinya.

Pengembangan polihedron hiperbolik ideal dapat digambarkan sebagai polihedron cembung Euklides dalam cara yang serupa: setiap manifold berdimensi dua dengan geometri hiperbolik seragam dan luas yang terhingga, yang secara kombinatorik ekuivalen dengan bola terlubang-hingga, dapat diperoleh sebagai permukaan polihedron ideal.