Transpos

Matriks A^T sebagai hasil transpos dari A dapat dicari dengan merefleksikan setiap elemennya sepanjang diagonal utamanya. Mengulangi langkah ini pada matriks hasil transpos akan menghasilkan matriks dengan setiap elemen kembali ke posisi awalnya.

Dalam aljabar linear, transpos dari sebuah matriks adalah operator yang membalikkan posisi matriks sepanjang diagonal utamanya; dengan kata lain, operator ini menukar setiap baris dan kolom pada matriks A, menjadi kolom dan baris matriks baru, yang umum dikenal sebagai A^T. transpos dari sebuah matriks diperkenalkan pada tahun 1858 oleh matematikawan Inggris Arthur Cayley.

Transpos dari sebuah matriks

Artikel ini mengasumsikan matriks berasal dari sebuah gelanggang komutatif. Hasil pada artikel ini mungkin tidak berlaku untuk kasus yang tidak komutatif.

Definisi

Transpos dari sebuah matriks A, yang dinyatakan sebagai A^T, ^⊤A, A^⊤, $A^{\intercal }$, A′, A^tr, ^tA, atau A^t, dapat dibentuk dengan tiga cara berikut:

1. Merefleksikan A sepanjang diagonal utamanya untuk mendapatkan A^T;
2. Menulis setiap baris dari A sebagai kolom dari A^T;
3. Menulis setiap kolom dari A sebagai baris dari A^T.

Secara lebih formal, elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari A^T adalah elemen baris ke-j dan kolom ke-i dari A:

$\left[\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.$

Jika A adalah matriks berukuran m × n, maka matriks A^T berukuran n × m.

Untuk kasus matriks persegi, notasi A^T juga dapat menyatakan pangkat T dari matriks A. Untuk menghindari kerancuan ini, banyak penulis menggunakan tika atas kiri, yakni, mereka menulis transpos sebagai ^TA. Notasi ini menguntungkan karena tanda kurung tidak diperlukan untuk operasi yang melibatkan perpangkatan, karena (^TA)ⁿ = ^T(Aⁿ): menulis ^TAⁿ tidak menimbulkan kerancuan.

Artikel ini menghindari kerancuan tersebut dengan tidak pernah menggunakan simbol T sebagai nama variabel.

Terdapat beberapa definisi matriks yang melibatkan transpos:

Nama matriks	Kondisi	Definisi
Simetrik	$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A}$	Matriks persegi dengan hasil transposnya berupa dirinya sendiri
Skew-symmetric	$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-\mathbf {A}$	Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan negatif dari dirinya sendiri
Hermite	$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} }}$	Matriks persegi dengan setiap elemen hasil transposnya adalah konjugat kompleks dari elemen pada posisi yang sama. Hal ini sama dengan mengatakan matriks persegi tersebut sama dengan transpos konjugatnya.
Ortogonal	$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{-1}$	Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan invers dirinya sendiri
Uniter	$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{-1}}}$	Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan invers konjugat dari dirinya sendiri.

Contoh

• ${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

Sifat

Misal A dan B adalah matriks dan c adalah sebuah skalar. Berikut adalah beberapa sifat dari operator transpos:

1. $\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .$

   Operasi transpos adalah sebuah involusi.

2. $\left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }+\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }.$
   Transpos memenuhi sifat penjumlahan.
3. $\left(\mathbf {AB} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.$
   Perhatikan bahwa urutan perkalian dibalik. Dari hasil ini dapat disimpulkan matriks persegi A dapat dibalik jika dan hanya jika A^T dapat dibalik, dan dalam kasus ini didapatkan (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹. Dengan induksi, hasil ini dapat diperumum untuk kasus beberapa matriks, yakni (A₁A₂...A_k−1A_k)^T = A_k^TA_k−1^T…A₂^TA₁^T.
4. $\left(c\mathbf {A} \right)^{\operatorname {T} }=c\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.$
   Transpos dari sebuah skalar menghasilkan skalar yang sama. Bersama dengan (2), sifat ini menyatakan transpos adalah peta linear dari ruang matriks ukuran m × n ke ruang matriks ukuran n × m.
5. $\det \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)=\det(\mathbf {A} ).$
   Nilai determinan dari matriks persegi sama dengan nilai determinan dari transposnya.
6. Produk dot dari dua vektor kolom a dan b dapat dihitung sebagai perkalian matriks:
   $\left[\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right]=\mathbf {a} ^{\operatorname {T} }\mathbf {b} ,$
   atau juga dapat ditulis sebagai a_i bⁱ dalam notasi Einstein.
7. Jika semua elemen A adalah bilangan real, maka A^TA adalah matriks semidefinit-positif.
8. $\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\operatorname {T} }.$

   Transpos dari matriks yang dapat dibalik juga berupa matriks yang dapat dibalik, dan inversnya adalah transpos dari invers matriks awalnya. Notasi A^−T terkadang digunakan untuk mewakili kedua ekpresi yang setara tersebut.

9. Jika A adalah matriks persegi, maka nilai-nilai eigennya sama dengan nilai-nilai eigen dari transposnya, karena mereka berdua memiliki polinomial karakteristik yang sama.

Hasil kali

Jika matriks A berukuran m × n dan A^T adalah transposnya, maka hasil perkalian matriks antara keduanya menghasilkan dua matriks persegi: A A^T yang berukuran m × m dan A^T A yang berukuran n × n. Lebih lanjut, kedua matriks ini simetrik. Elemen-elemen pada hasil perkalian matriks A A^T adalah hasil kali dalam baris dari A dengan kolom dari A^T. Namun karena kolom pada A^T adalah baris pada A, setiap elemen di A A^T adalah hasil kali dalam dua baris matriks A. Jika p_{i j} adalah elemen di matriks hasil perkalian, nilainya berasal dari baris ke-i dan ke-j di A. Nilai elemen p_{j i} juga didapatkan dari kedua baris yang sama, sehingga p_{i j} = p_{j i}, dan menyebabkan A A^T simetris. Dengan alasan yang serupa, hasil perkalian A^T A juga matriks simetris.

Bukti yang lebih cepat mengenai kesimetrisan matriks A A^T didapatkan dari fakta transpos matriks tersebut adalah dirinya sendiri:

$\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.$

Implementasi transpos matriks di komputer

Ilustrasi dua cara mengakses matriks di memori komputer.

Di komputer, kita dapat menghindari melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori cukup dengan mengakses data dalam urutan yang berbeda. Sebagai contoh, pustaka untuk aljabar linear, seperti BLAS, umumnya menyediakan pilihan untuk menyatakan sebuah matriks perlu dibaca dalam urutan operasi transpos, untuk menghindari perpindahan data yang tidak diperlukan.

Namun, ada beberapa keadaan yang mengharuskan atau menguntungkan untuk melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori. Sebagai contoh, matriks yang disimpan dalam row-major order, memiliki baris matriks yang contiguous di memori, namun kolom matriksnya tidak. Jika matriks banyak melakukan operasi yang melibat kolom-kolom, sebagai contoh algoritme transformasi Fourier cepat, melakukan transpos matriks agar kolom-kolomnya contiguous mungkin dapat meningkatkan peformanya karena memory locality yang tinggi.

Idealnya, kita mengharapkan operasi transpos dilakukan dengan menggunakan penyimpanan sementara yang sedikit. Hal ini berujung pada permasalahan melakukan transpos matriks berukuran n × m in-place, dengan O(1) penyimpanan sementara yang jauh lebih kecil daripada mn. Pada kasus n ≠ m, hal ini melibatkan permutasi elemen-elemen matriks yang rumit dan tidak mudah diterapkan secara in-place. Karena hal itu, metode transpos matriks in-place yang efisien banyak diteliti pada bidang ilmu komputer mulai pada akhir tahun 1950-an. Beberapa algoritme telah dikembangkan dalam hal tersebut.

Daftar pustaka

• Templat:Bourbaki Algebra I Chapters 1-3 Springer
• Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3 .
• Maruskin, Jared M. (2012). Essential Linear Algebra. San José: Solar Crest. hlm. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6. 
• Templat:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
• Templat:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
• Schwartz, Jacob T. (2001). Introduction to Matrices and Vectors. Mineola: Dover. hlm. 126–132. ISBN 0-486-42000-0. 

Pranala luar

• Gilbert Strang (Spring 2010) Linear Algebra dari MIT Open Courseware